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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Do 24.11.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Man zeige:
$A= [mm] \{(x,y): 1\le x^2 + y^2 \le 2, x+y\ge 1\}$ [/mm] ist abgeschlossen |
Nun, ich möchte dies zeigen, in dem ich versuche zu beweisen, dass die Menge
$A' = [mm] \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 :x^2+y^2 \ge 0, x+y<1\} \setminus \{[1,2]\}\subset \mathbb{R} [/mm] $ offen ist.
Sei also $(x,y) [mm] \in \mathbb{R}^2$ [/mm] beliebig. Wieso gibt es nun für jeden Punkt $(x,y)$ (mindestens) eine Umgebung in A' ?
Nun, es gilt doch:
[mm] $1>(x+y)^2 \ge [/mm] 2xy [mm] \Leftrightarrow \frac{1}{2x} [/mm] > y $
[mm] $x^2+y^2 \le x^2+\left(\frac{1}{2x}\right)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{4x^2}$ [/mm] $ [mm] \Leftrightarrow 4x^4+1\ge [/mm] 0 $ (*) . Analog erhält man [mm] $1+4y^2 \ge [/mm] 0 $ (~) .
Interpretation: Da die (nichtstrikten) Ungleichungen (*) und (~) offensichtlich FÜR ALLE x,y [mm] \in \mathbb{R} [/mm] erfüllt sind, kann ich sicherlich MINDESTENS eine Umgebung von $(x,y)$ finden, die ganz in A' enthalten ist und damit ist sie - per definitionem - schon offen. Natürlich ist mir bewusst, dass man vorsichtig sein muss beim Intervall $[1,2]$, jedoch habe ich den Umgebungsexistenzbeweis ja schon erbracht, weshalb ich auf dieses Intervall ja auch nicht mehr achten mus... (das "vorsichtig sein" bezog sich natürlich auf generell...)
Ist meine Argumentation in Ordnung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Fr 25.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige:
> [mm]A= \{(x,y): 1\le x^2 + y^2 \le 2, x+y\ge 1\}[/mm] ist
> abgeschlossen
>
> Nun, ich möchte dies zeigen, in dem ich versuche zu
> beweisen, dass die Menge
> [mm]A' = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 :x^2+y^2 \ge 0, x+y<1\} \setminus \{[1,2]\}\subset \mathbb{R}[/mm]
Soll das das Komplement von A sein ? Wenn ja, so stimmt das hinten und vorne nicht !
> offen ist.
>
> Sei also [mm](x,y) \in \mathbb{R}^2[/mm] beliebig. Wieso gibt es nun
> für jeden Punkt [mm](x,y)[/mm] (mindestens) eine Umgebung in A' ?
>
> Nun, es gilt doch:
> [mm]1>(x+y)^2 \ge 2xy \Leftrightarrow \frac{1}{2x} > y[/mm]
>
> [mm]x^2+y^2 \le x^2+\left(\frac{1}{2x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{4x^2}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow 4x^4+1\ge 0[/mm] (*) . Analog erhält man
> [mm]1+4y^2 \ge 0[/mm] (~) .
>
> Interpretation: Da die (nichtstrikten) Ungleichungen (*)
> und (~) offensichtlich FÜR ALLE x,y [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
> erfüllt sind, kann ich sicherlich MINDESTENS eine Umgebung
> von [mm](x,y)[/mm] finden, die ganz in A' enthalten ist und damit
> ist sie - per definitionem - schon offen. Natürlich ist
> mir bewusst, dass man vorsichtig sein muss beim Intervall
> [mm][1,2][/mm], jedoch habe ich den Umgebungsexistenzbeweis ja schon
> erbracht, weshalb ich auf dieses Intervall ja auch nicht
> mehr achten mus... (das "vorsichtig sein" bezog sich
> natürlich auf generell...)
>
> Ist meine Argumentation in Ordnung?
Nein. Ich hab keine Ahnung, was Du da oben getriben hast !
Ganz einfach geht das, wenn Du zeigst:
Für jede konvergente Folge in A gehört auch ihr Limes zu A.
FRED
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