Abgeschlossen Schwach stern < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mo 24.06.2013 | | Autor: | f12 |
Liebes Forum
Wenn ich einen normierten Vektorraum $X$ habe und $X'$ sei der Dualraum mit der schwach stern Topologie ausgestattet. Gilt dann folgendes (und wenn ja wieso):
Wenn $A$ schwach stern abgeschlossen ist, so ist es auch stark abgeschlossen.
Gruss
f12
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Sa 20.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin f12,
> Wenn ich einen normierten Vektorraum [mm]X[/mm] habe und [mm]X'[/mm] sei der
> Dualraum mit der schwach stern Topologie ausgestattet. Gilt
> dann folgendes (und wenn ja wieso):
>
> Wenn [mm]A[/mm] schwach stern abgeschlossen ist, so ist es auch
> stark abgeschlossen.
ja, es gilt:
Die schwach-*-Topologie ist die schwaechste Topologie, bzgl. der die Abbildungen [mm] $f_x [/mm] : X' [mm] \to \mathbb{K}$, $\varphi \mapsto \varphi(x)$ [/mm] fuer alle $x [mm] \in [/mm] X$ stetig sind.
Da bei der starken Topologie alle diese Abbildungen ebenfalls stetig sind, ist die schwach-*-Topologie eine Teilmenge der starken Topologie. Damit ist jede bzgl. der schwach-*-Topologie offenen (oder abgeschlossenen) Menge bzgl. der starken Topologie ebenfalls offen (bzw. abgeschlossen).
LG Felix
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