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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Mi 15.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Ich habe zwei Mengen
K= {(x, exp(x): x aus [mm] \IR)} [/mm] und H={(x,y): x*y=1}
Die beiden sind abgeschlossen. Ich verstehe aber nicht warum.
x ist X-Achse, ist also abgeschlossen in [mm] \IR. [/mm] Falls exp (x) auch abgeschlossen ist, dann ist K abgeschlossen Im Produktraum [mm] \IR [/mm] ^{2} bzgl Produktmetrik.
Aber exp(x) >0 , also ist eigentlich offen in [mm] \IR. [/mm]
Dasselbe Problem mit H:
y=1/x [mm] \in [/mm] (- [mm] \infty, \infty) [/mm] \ {0} ist eigentlich auch offen.
Wo liegt mein Fehler?
Ich wäre sehr dankbar für die Hilfe.
LG Elena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mi 15.03.2006 | | Autor: | statler |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Elena!
> Ich habe zwei Mengen
>
> K= {(x, exp(x): x aus [mm]\IR)}[/mm] und H={(x,y): x*y=1}
> Die beiden sind abgeschlossen. Ich verstehe aber nicht
> warum.
Dir ist doch offensichtlich sonnenklar, wie diese Gebilde aussehen. Dann zeichne sie doch mal grob und nimm dir das Komplement vor. Das ist offen, wie man zumindest auf dem Papier mit einem Bildchen leicht vorführen kann. Dann muß man es nur mit epsilon-Umgebungen hinschreiben, wenn man das für nötig hält.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Mi 15.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Dieter,
danke für Deine Antwort.
Wahrscheinlich bin ich blöd, aber ich krige das Komplement von f(x)= exp(x) gleich [0, [mm] \infty [/mm] ) (da exp(x)>0 für alle x aus [mm] \IR), [/mm] und das ist eine abgeschlossene Menge.
Könntest Du mir bitte noch einen Tipp geben?
Danke.
LG Elena
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Hallo und guten Morgen, Elena,
und hallo Freunde gepflegter Topologie bei einer Tasse frischen Kaffees,
und bei dieser Gelegenheit auch gleich einen herzlichen Gruss nach Hamburg-Harburg !
Trotz der Antwort Dieters wage ich auch mal, etwas dazu zu schreiben und vielleicht noch
ein, zwei Worte der Erläuterung hintanzufügen.
Du hast ja zwei Teilmengen des [mm] \IR^2 [/mm] gegeben, die Mengen
[mm] K=\{(x,e^x)|x\in\IR\} [/mm] und [mm] H=\{(x,\frac{1}{x})|x\in\IR\setminus\{0\}\}
[/mm]
und Du sollst zeigen, dass diese Mengen abgeschlossene Teilmengen des [mm] \IR^2 [/mm] (mutmasslich bzgl. der
Standard-Topologie des [mm] \IR^2) [/mm] sind.
Per definitionem ist eine Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] abgeschl genau dann, wenn das Komplement dieser Menge offen ist.
Dieter schlägt also vor, über die Offenheit von [mm] \IR^2\setminus [/mm] H und [mm] \IR^2\setminus [/mm] K zu argumentieren, d.h. zB fuer H folgendes zu zeigen (das definiert ja die offenen
Teilmengen des [mm] \IR^2):
[/mm]
zu jedem [mm] (x,y)\in\IR^2\setminus [/mm] H gibt es ein [mm] \epsilon [/mm] >0, so dass
[mm] \{(x',y')\in\IR^2\: | \:\: \parallel (x',y')-(x,y)\:\parallel_2 = \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}\: < \: \epsilon\}\:\subseteq\: \IR^2\setminus [/mm] H
gilt.
Anschaulich ist das sofort klar. Vermutlich kann man das auch per Hand explizit ausrechnen, wenn man sich eine Zeichnung
macht, sich anhand derer überlegt, wie gross zu gegebenem (x,y) das [mm] \delta [/mm] sein kann und dies dann formal beweist.
Ich würd dabei zB eine Fallunterscheidung y>f(x) bzw y<f(x) machen, und bei der Funktion [mm] f(x)=\frac{1}{x} [/mm] behandelt man den Punkt (0,0)
noch separat (was leicht ist).
Ich frag mich trotzdem, ob es nicht etwas allgemeiner geht.
Versuchen wir es allgemeiner.
Seien also [mm] (A,T_A) [/mm] und [mm] (B,T_B) [/mm] topologische Räume (mit Grundmenge A bzw B und System der offenen Mengen
[mm] T_A\subseteq P(A)=\{A'|A'\subseteq A\}
[/mm]
und
[mm] T_B\subseteq [/mm] P(B),
und sei [mm] f\colon A\to [/mm] B stetig. Gelte weiterhin: Punkte in A als einelementige Mengen sind abgeschlossen, ebenso fuer B
(das war doch eine der Hausdorff-Eigenschaften, oder ?).
Frage: Ist dann [mm] G_f:=\{(x,f(x)|x\in A\} [/mm] stets abgeschl. in [mm] A\times [/mm] B bezgl der Produkttopologie.
Ueberlegung dazu: Sei [mm] (x,y)\in A\times B\setminus G_f, [/mm] zu zeigen fuer Abgeschl. wäre: Es gibt eine offene Umgebung von (x,y), die ganz in [mm] A\times \setminus G_f [/mm] liegt.
Da nun [mm] B\setminus \{f(x)\} [/mm] offen ist, wähle eine offene Menge [mm] y\in B'\subseteq B\setminus G_f,......... [/mm] Ich komm hier gerade nicht so recht weiter. Ich werd mal in
einem Topologiebuch schauen, ob dies ueberhaupt allgemein stimmt.
ABER kann es sein, dass man sich fuer den Fall stetiger Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] viel Ärger spart, wenn man wie folgt argumentiert:
Sei [mm] (x,y)\not\in G_f=\{(x,f(x))|x\in\IR\}, [/mm] dann betrachte das offene Intervall I:= [mm] (f(x)-\delta, f(x)+\delta) [/mm] mit [mm] \delta:=\frac{|y-f(x)|}{2}.
[/mm]
Das Urbild von I ist eine offene Teilmenge des [mm] \IR, [/mm] also Vereinigung von offenen und halboffenen Intervallen, und in einem solchen, sagen wir
(a,b) liegt x. Gelte [mm] (x-\epsilon,x+\epsilon) \subseteq [/mm] (a,b) (solches [mm] \epsilon [/mm] koennen wir waehlen).
Behauptung: (x- [mm] \epsilon,x+\epsilon)\times (y-\delta, y+\delta) [/mm] ist offene Umgebung von (x,y), die leeren Schnitt mit [mm] G_f [/mm] hat.
Ich hoffe, das stimmt und man kann es leicht aus der Def. der ganzen Werte beweisen, ohne explizit die Funktion selber und die Gemetrie des Funktionsgraphen zu betrachten.
Soviel vorerst.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:56 Do 16.03.2006 | | Autor: | felixf |
Guten Morgen Mathias!
Da ich grad nicht so viel Zeit hab, nur eine kleine Anmerkung:
> ABER kann es sein, dass man sich fuer den Fall stetiger
> Funktionen von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm] viel Ärger spart, wenn man wie
> folgt argumentiert:
>
> [...]
Man kann sich sogar noch viel mehr Aerger ersparen, indem man die Abgeschlossenheit mit dem folgenden Kriterium nachrechnet:
Eine Menge $M [mm] \subseteq \IR^2$ [/mm] ist genau dann abgeschlossen, wenn fuer jede konvergente Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n \in [/mm] M$, $n [mm] \in \IN$ [/mm] auch der Grenzwert in $M$ liegt.
Wenn man naemlich eine konvergente Folge [mm] $(x_n, y_n)_{n\in\IN} \in [/mm] K$ hat, dann ist [mm] $y_n [/mm] = [mm] \exp(x_n)$. [/mm] Und da [mm] $(x_n, y_n) \to [/mm] (x, y)$ konvergiert (erstmal mit $(x, y) [mm] \in \IR^2$), [/mm] muss wegen der Produkttopologie [mm] $x_n$ [/mm] gegen $x$ und [mm] $y_n$ [/mm] gegen $y$ konvergieren.
So. Und nun ist [mm] $\exp$ [/mm] stetig, also ist $y = [mm] \exp(x)$, [/mm] und das bedeutet... das man sich ein paar [mm] $\epsilon$-Rechnungen [/mm] erspart hat 
Die Methode funktioniert natuerlich auch, wenn man anstatt $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine Funktion $f : V [mm] \to [/mm] W$ mit $V, W$ metrischen Raeumen hat. Und in noch allgemeineren Raeumen sollte es auch funktionieren, wenn man anstatt mit Folgen mit Netzen arbeitet; ich weiss allerdings nicht mehr ob das dann wirklich fuer beliebige Raeume geht oder ob man dann immernoch was vom Raum fordern muss...
Liebe Gruesse und einen wunderschoenen Tag,
Felix
PS: Zur Hausdorff-Frage: Das Einpunktmengen abgeschlossen sind folgt direkt aus der Hausdorff-Eigenschaft (sind $x, y [mm] \in [/mm] M$, $x [mm] \neq [/mm] y$, so gibt es offene Mengen $U,V [mm] \subseteq [/mm] M$ mit $x [mm] \in [/mm] U$, $y [mm] \in [/mm] V$, $U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset$): [/mm] zu jedem Punkt $y [mm] \neq [/mm] x$ gibt es eine offene Umgebung~$U(y)$, die $x$ nicht umfasst. Damit ist $M [mm] \setminus \{ x \}$ [/mm] offen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:48 Do 16.03.2006 | | Autor: | felixf |
Auch von mir einen wunderschoenen guten Morgen
Fuer die zweite Menge $H$ gibts noch eine andere Moeglichkeit (als im restlichen Thread diskutiert):
> $K= [mm] \{(x, exp(x): x \in \IR)\}$ [/mm] und [mm] $H=\{(x,y): x \cdot y=1\}$
[/mm]
> Die beiden sind abgeschlossen. Ich verstehe aber nicht
> warum.
Zur zweiten Menge betrachte die Funktion $f : [mm] \IR^2 \to \IR$, [/mm] $(x, y) [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \cdot [/mm] y$. Du kannst jetzt $H$ als Urbild einer Menge unter $f$ darstellen.
Weiterhin ist $f$ stetig, weisst du warum? Und jetzt denk mal an die Eigenschaft von Stetigkeit, naemlich dass das Urbild abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist.
(Der Trick funktioniert bei der ersten Menge uebrigens auch, du musst die Funktion nur etwas anders waehlen.)
> x ist X-Achse, ist also abgeschlossen in [mm]\IR.[/mm] Falls exp
> (x) auch abgeschlossen ist, dann ist K abgeschlossen Im
> Produktraum [mm]\IR ^{2}[/mm] bzgl Produktmetrik.
> Aber exp(x) >0 , also ist eigentlich offen in [mm]\IR.[/mm]
Wenn die Menge durch [mm] $\{ x \mid x \in \IR \} \times \{ \exp(x) \mid x \in \IR \}$ [/mm] oder (aequivalent) [mm] $\{ (x, \exp(y)) \mid x, y \in \IR \}$ [/mm] gegeben waere, waer dein Argument voellig richtig. Die Menge ist hier allerdings durch [mm] $\{ (x, \exp(x)) \mid x \in \IR \}$ [/mm] gegeben, womit $x$ und [mm] $\exp(x)$ [/mm] voneinander abhaengig sind! (Wenn du beide Mengen mal aufzeichnest,wirst du den Unterschied sehen!)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:59 Do 16.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Danke Leute,
ihr habt mir sehr weitergeholfen.
LG Elena
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