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| Aufgabe | Sei
[mm] $K=\{f \in C([0,1])\ :\ ||f|| \le 1\}$,
[/mm]
[mm] $A=\{f \in C([0,1])\ :\ f \mbox{ ist monoton nicht fallend}\}$,
[/mm]
[mm] $B=\{f \in C([0,1])\ :\ f i\mbox{ st 1-Lipschitz stetig, d.h. } |f(x)-f(y)| \le |x-y| \mbox{ für alle } x,y \in [0,1]\}$.
[/mm]
Zeigen Sie:
(a) $A$ und $B$ sind abgeschlossen in $C([0,1])$.
(b) [mm] $A^\circ [/mm] = [mm] B^\circ [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
(c) $K [mm] \cap [/mm] A$ ist nicht kompakt.
(d)* $K [mm] \cap [/mm] B$ ist kompakt. |
Hallo!
Kann mir vielleicht jemand Tipps geben, wie ich diese Aufgabe lösen kann?
Wäre echt super!!!
Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG, Coffein18
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Mo 18.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> Sei
> [mm]K=\{f \in C([0,1])\ :\ ||f|| \le 1\}[/mm],
> [mm]A=\{f \in C([0,1])\ :\ f \mbox{ ist monoton nicht fallend}\}[/mm],
Das "nicht" ist falsch also zu viel, oder? Denn ansonsten ist A nicht abgeschlossen ...
> [mm]B=\{f \in C([0,1])\ :\ f i\mbox{ st 1-Lipschitz stetig, d.h. } |f(x)-f(y)| \le |x-y| \mbox{ für alle } x,y \in [0,1]\}[/mm].
>
> Zeigen Sie:
> (a) [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] sind abgeschlossen in [mm]C([0,1])[/mm].
Wenn du Folgen hast die konvergieren, dann zeige daß die Grenzfunktion wieder diese Eigenschaft hat.
> (b) [mm]A^\circ = B^\circ = \emptyset[/mm].
Finde kleine, steile Dreiecke, deren Supremumsnorm kleiner als Epsilon ist und addiere die drauf. Was passiert alles? Alles ausführen!
> (c) [mm]K \cap A[/mm] ist nicht
> kompakt.
Finde eine Folge, die keine konvergente Teilfolge besitzt (am besten konvergeirt die Folge punktweise gegen etwas unstetiges!)
> (d)* [mm]K \cap B[/mm] ist kompakt.
Ich würde auf Folgenkompaktheit tippen - aber die Aufgabe hat vielleicht nicht um sonst einen Stern ...
SEcki
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