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| Aufgabe | Aufgabe 1
Die Abbildung m: [mm] \IZ \times \IZ \to \IZ [/mm] sei gegeben durch m(x,y)= x+y+1 .
Zeigen Sie, dass ( [mm] \IZ, [/mm] m) eine abelsche Gruppe ist
Aufgabe 2
Definieren Sie auf der Menge [mm] \IF_{4} [/mm] = [mm] \{ 0,1,x,y \} [/mm] eine Addition und eine Multiplikation, so dass [mm] \IF_{4} [/mm] zu einem Körper wird.
Folgenden Tipp haben wir bekommen: Setzen Sie 1+1=0 und x [mm] \times [/mm] y=1 fest. |
Hallo miteinander,
kann mir vielleicht jemand von Euch helfen, wie ich bei diesen beiden Aufgaben vorgehen muss? Leider habe ich überhapt keine Idee.
Vielen Dank!
Gruß Philipp
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> Aufgabe 1
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> Die Abbildung m: [mm]\IZ \times \IZ \to \IZ[/mm] sei gegeben durch
> m(x,y)= x+y+1 .
> Zeigen Sie, dass ( [mm]\IZ,[/mm] m) eine abelsche Gruppe ist
> kann mir vielleicht jemand von Euch helfen, wie ich bei
> diesen beiden Aufgaben vorgehen muss? Leider habe ich
> überhapt keine Idee.
Hallo,
weißt Du denn was eine Gruppe ist?
Welche Gesetze müssen da gelten?
Wenn Du das herausgefunden hast, mußt Du die Gültigkeit dieser Gesetze für die vorgegebene Verknüpfung nachweisen.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 18:36 So 29.04.2007 | | Autor: | Manuel24 |
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> Wenn Du das herausgefunden hast, mußt Du die Gültigkeit
> dieser Gesetze für die vorgegebene Verknüpfung nachweisen.
>
Dabei kannst du dich teilweise darauf beziehen, dass (Z,+) eine Gruppe ist
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Eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung [mm] \times [/mm] heißt Gruppe.
Folgende Axiome müssen erfüllt sein:
1. (a [mm] \* [/mm] b) [mm] \* [/mm] c= a [mm] \* [/mm] ( b [mm] \* [/mm] c) für alle a,b, c [mm] \in [/mm] G
2. Es gibt ein e [mm] \in [/mm] G mit den folgenden Eigenschaften:
a) e [mm] \* [/mm] a= a für alle a [mm] \in [/mm] G
b) Zu jedem a [mm] \in [/mm] G gibt es ein a^´ [mm] \in [/mm] G mit a^ ' [mm] \* [/mm] a= e
Die Gruppe heißt abelsch, falls außerdem a [mm] \* [/mm] b= b [mm] \* [/mm] a für alle a,b [mm] \in [/mm] G.
Ich komme nur leider nicht so gut mit den Beweisen klar. Kannst Du es mir vielleicht einmal an einem Beispiel erklären?
Das wäre super nett.
Gruß Philipp
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Hallo Philipp,
da fehlt noch etwas Wesentliches, nämlich die Abgeschlossenheit bzgl. der Verknüpfung, dh, mit zwei Elementen $a,b$ ist auch [mm] $a\circ b\in [/mm] G$
Damit fangen wir mal an:
Seien also [mm] $x_1,x_2\in\IZ$
[/mm]
Dann ist [mm] $m(x_1,x_2)=x_1+x_2+1\in\IZ$
[/mm]
Damit ist [mm] \IZ [/mm] abgeschlossen bzgl. der Verknüpfung m
Auf ähnliche Art und Weise musst du dich nun an die Überprüfung der anderen Axiome machen
Gruß
schachuzipus
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Ich verstehe leider immer noch nicht, woran ich an
m(x1,x2)= x1+x2+1 [mm] \in \IZ [/mm] erkenne, dass [mm] \IZ [/mm] abgeschlossen ist bezüglich der Verknüfung m.
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Hallo,
das liegt daran, dass [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] eine Gruppe ist, d.h. u.a. , dass [mm] $\IZ$ [/mm] bzgl. + abgeschlossen ist, also mit zwei Elementen [mm] $x_1,x_2\in\IZ$ [/mm] ist auch [mm] $x_1+x_2\in\IZ$
[/mm]
Bei deiner Verknüpfung kommt noch ein +1 dazu, das ganze bleibt somit in [mm] \IZ
[/mm]
Ok?
Gruß
schachuzipus
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Ja, vielen Dank für Deine Hilfe.
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