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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Also man solle zeigen, dass jede Gruppe mit $|G| < 6$ abelsch ist.
Für 1 bis 4 kann ich das noch über Gruppentafeln selbst zeigen. Für 5 hab ich aber keine Lust das über Gruppentafeln per Hand zu machen, weil ich dann vielleicht eine vergesse. Gibt es einen Weg das direkt zu zeigen? Im Prinzip geht es doch darum, ob die Gruppentafel-"Matrix" symmetrisch ist, oder? Hilft mir das weiter?
Danke schonmal,
Gruß Micha 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Du zeigst einfach, dass eine Gruppe der Ordnung 5 zyklisch ist (also von einem Gruppenelement erzeugt wird) und damit automatisch abelsch ist.
Der Beweis ist einfach, da $p=5$ eine Primzahl ist.
Sei [mm] $a\ne [/mm] e$ ein nichttriviales Element der Gruppe. Die Ordnung von $a$ muss ein Teiler der Gruppenordnung sein. Wegen $a [mm] \ne [/mm] e$ gilt $ord(a) [mm] \ne [/mm] 1$. Da $5$ prim ist, muss daher $ord(a)=5$ gelten.
Mithin ist:
[mm] $G=\{e,a,a^2,a^3,a^4\}$
[/mm]
zyklisch und daher abelsch.
Wenn du die Begriffe nicht kennst oder Fragen hast, stelle sie einfach.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo spätaufgebliebener Stefan!
> Lieber Micha!
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> Du zeigst einfach, dass eine Gruppe der Ordnung 5 zyklisch
> ist (also von einem Gruppenelement erzeugt wird) und damit
> automatisch abelsch ist.
Wieso gilt diese Implikation? Diesen Zusammenhang hatten wir nicht in der Vorlesung gemacht und auch nicht in Übung oder Tutorium. Kannst du mir noch verraten, warum? *g
>
> Der Beweis ist einfach, da [mm]p=5[/mm] eine Primzahl ist.
>
> Sei [mm]a\ne e[/mm] ein nichttriviales Element der Gruppe. Die
> Ordnung von [mm]a[/mm] muss ein Teiler der Gruppenordnung sein.
> Wegen [mm]a \ne e[/mm] gilt [mm]ord(a) \ne 1[/mm]. Da [mm]5[/mm] prim ist, muss daher
> [mm]ord(a)=5[/mm] gelten.
Ja das hab ich verstanden. Für jedes Element a, was nicht das neutrale Element ist, gilt ord(a) ist gleich der Gruppenordnung, falls diese prim ist. Wäre diese z.B. 6 dann gäbe es mitunter auch Elemente mit ord(a)= 2 oder 3, richtig? Dann wird die Gruppe von 3 bzw. 2 Elementen erzeugt und nicht von einem wie bei Primzahlen, oder wie muss man das verstehen?
>
> Mithin ist:
>
> [mm]G=\{e,a,a^2,a^3,a^4\}[/mm]
>
> zyklisch und daher abelsch.
Wie gesagt, mir fehlt da noch der Zusammenhang..
Gruß Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Okay. 
Sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $n$ und zyklisch. Dann gibt es ein $a [mm] \in [/mm] G$ mit [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle [/mm] =G$, sprich die Gruppe wird von einem Element $a$ erzeugt. Sie hat dann die Gestalt:
[mm] $G=\{e,a,a^2,a^3,\ldots,a^{n-1}\}$.
[/mm]
Die Gruppe ist aber dann automatisch abelsch.
Sind nämlich $x,y [mm] \in [/mm] G$, so sind sie notwendigerweise von der Form
[mm] $x=a^i$ [/mm] und [mm] $y=a^j$,
[/mm]
und es gilt
$xy = [mm] a^ia^j [/mm] = [mm] a^{i+j} [/mm] = [mm] a^{j+i} [/mm] = [mm] a^ja^i [/mm] = yx$.
> Ja das hab ich verstanden. Für jedes Element a, was nicht
> das neutrale Element ist, gilt ord(a) ist gleich der
> Gruppenordnung, falls diese prim ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wäre diese z.B. 6
> dann gäbe es mitunter auch Elemente mit ord(a)= 2 oder 3,
> richtig?
> Dann wird die Gruppe von 3 bzw. 2 Elementen
> erzeugt und nicht von einem wie bei Primzahlen, oder wie
> muss man das verstehen?
Das ist korrekt. Wobei sie durchaus auch von einem erzeugt werden kann! Aber es muss halt nicht so sein...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:09 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Micha |
Danke Stefan!
Ich denke ich habs verstanden und gehe jetzt schlafen!
Gute Nacht! ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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