(Abelsche) Gruppen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Di 28.11.2006 | | Autor: | Mikke |
Nabend!
habe eine Frage und hoff auf eure Hilfe.
z sei eine ganze zahl
und für jede Abelsche Gruppe (G,*) definiere eine Abbildung:
[mm] d_{z}: [/mm] G-->G durch [mm] d_{z}(g)=g^{z}. [/mm] G(z)= [mm] {g\in G : d_{z}(g)=1}
[/mm]
Jetzt soll ich zeigen dass (a) [mm] d_{z} [/mm] Gruppen-Homomorphismus ist
[mm] (b)G_{z} [/mm] Untergruppe von G ist und
(c) dass wenn G und H abelsche Gruppen sind, dass dann (G [mm] \times H)_{z}=G_{z}\times H_{z}
[/mm]
(a) und (b) ist doch nur das nachrechnen der definitionen oder?und wie mache ich (c)?hier weiß ich nicht weiter und hoffe auf hilfe.
Gruß und danke Mikke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Mi 29.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Mikke!
> habe eine Frage und hoff auf eure Hilfe.
> z sei eine ganze zahl
>
> und für jede Abelsche Gruppe (G,*) definiere eine
> Abbildung:
> [mm]d_{z}:[/mm] G-->G durch [mm]d_{z}(g)=g^{z}.[/mm] G(z)= [mm]{g\in G : d_{z}(g)=1}[/mm]
>
> Jetzt soll ich zeigen dass (a) [mm]d_{z}[/mm] Gruppen-Homomorphismus
> ist
> [mm](b)G_{z}[/mm] Untergruppe von G ist und
> (c) dass wenn G und H abelsche Gruppen sind, dass dann (G
> [mm]\times H)_{z}=G_{z}\times H_{z}[/mm]
> (a) und (b) ist doch nur
> das nachrechnen der definitionen oder?
Genau.
> und wie mache ich (c)?
Einfach einen Isomorphismus definieren. Worauf koenntest du $(g, h) [mm] \in [/mm] (G [mm] \times H)_z$ [/mm] denn so abbilden? Es gibt eine ganz offensichtliche Wahl, die auch die richtige ist. Ueberleg dir doch mal, was die Bedingung [mm] $d_z(g) [/mm] = 1$ fuer die jeweiligen Komponenten von $G [mm] \times [/mm] H$ bedeutet.
LG Felix
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