Abelsche Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Sa 07.11.2009 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | Sei I eine Menge, und sei für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ eine abelsche Gruppe [mm] $(G_i,+_i)$ [/mm] gegeben.
Sei auf $G:= [mm] \prod_{i \in I} G_i$ [/mm] die folgende Operation + definiert:
$ g+h:= (i [mm] \rightarrow [/mm] g(i) +_i h(i)).
Zeigen Sie, dass (G,+) eine abelsche Gruppe ist. |
ich weiß nicht so genau wie ich mit den Angaben arbeiten muss bzw. kann um zu zeigen, dass (G,*) eine abelsche Gruppe ist.
Ich weiß nur folgendes:
$(G:= [mm] \prod_{i \in I} G_i,+)$ [/mm] mit
[mm] $+:(\prod_{i \in I} G_i) x(\prod_{i \in I} G_i) \rightarrow (\prod_{i \in I} G_i)$
[/mm]
$(g,h) [mm] \rightarrow [/mm] (i [mm] \rightarrow [/mm] g(i) +_i h(i)) $
wieder eine abelsche Gruppe ist, genannt das direkte Produkt der [mm] $G_i [/mm] (i [mm] \in [/mm] I)$.
Und für $g,h [mm] \in \prod_{i \in I} G_i [/mm] und i [mm] \in [/mm] I$ gilt:
$(g+h)(i) = g(i) +_i h(i)$
$0(i) [mm] =0_i$
[/mm]
$(-g)(i) = -_i (g(i))$
Bitte möglichst ausführlich erklären.
Danke schonmal für eure Hilfe und schönes we.
lg ohlala
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Sa 07.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei I eine Menge, und sei für jedes [mm]i \in I[/mm] eine abelsche
> Gruppe [mm](G_i,+_i)[/mm] gegeben.
> Sei auf [mm]G:= \prod_{i \in I} G_i[/mm] die folgende Operation +
> definiert:
> $ g+h:= (i [mm]\rightarrow[/mm] g(i) +_i h(i)).
>
> Zeigen Sie, dass (G,+) eine abelsche Gruppe ist.
>
> ich weiß nicht so genau wie ich mit den Angaben arbeiten
> muss bzw. kann um zu zeigen, dass (G,*) eine abelsche
> Gruppe ist.
>
> Ich weiß nur folgendes:
> [mm](G:= \prod_{i \in I} G_i,+)[/mm] mit
> [mm]+:(\prod_{i \in I} G_i) x(\prod_{i \in I} G_i) \rightarrow (\prod_{i \in I} G_i)[/mm]
>
> [mm](g,h) \rightarrow (i \rightarrow g(i) +_i h(i))[/mm]
> wieder
> eine abelsche Gruppe ist, genannt das direkte Produkt der
> [mm]G_i (i \in I)[/mm].
Du willst also etwas zeigen, fragst dich wie das geht, weisst aber dass es der Fall ist?
> Und für [mm]g,h \in \prod_{i \in I} G_i und i \in I[/mm]
> gilt:
> [mm](g+h)(i) = g(i) +_i h(i)[/mm]
> [mm]0(i) =0_i[/mm]
> [mm](-g)(i) = -_i (g(i))[/mm]
>
> Bitte möglichst ausführlich erklären.
Erklaer doch bitte erstmal, was du weisst und was nicht bzw. wo eigentlich dein Problem liegt.
LG Felix
|
|
|
|
