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Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zur Gruppe G mit 45 Elementen. Ich soll zeigen, dass diese abelsch ist.
Meine Überlegung: 45 = 15*3.
Ich weiss, dass die Gruppe mit 15 Elementen zyklisch ist und damit isomorph zu Z/15Z ist. Ich schaue mir jetzt das Zentrum von G an. Dieses Zentrum ist Untergruppe und muss also nach Lagrange 45 teilen.
=> Ordnung des Zentrums ist entweder 15 oder gar 45. (Ordnung 1 fällt weg, da wir ja eine zyklische Untergruppe haben, stimmt das??)
Annahme: ord Z(G) = 15
Ich definiere jetzt die Faktorgruppe G/Z(G). Das ist wiederum eine Untergruppe von G und es gibt also 3 Linksnebenklassen. Diese Gruppe hat also Ordnung 3 => abelsch (ja sogar zyklisch) (Widerspruch zur Annahme)
Das heisst, ich kann die Gruppe 45 mit einem Produkt aus der zyklischen Gruppe mit ord 15 und eine abelsche gruppe mit ord 3 identifizieren.
=> Damit ist G abelsch.
MEine frage nun: Stimmt die Idee? Wie lässt sich das konkret mit einer Abb. schreiben?
(Ich selber vermute, dass es falsch ist, da nach diesem Beweis die Gruppe auch zyklisch wäre... Es ist aber NUR die Kommutativität gefragt)
Vielen Dank für eure Hilfe.
Euer Gork
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Di 16.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> ich habe eine Frage zur Gruppe G mit 45 Elementen. Ich soll
> zeigen, dass diese abelsch ist.
> Meine Überlegung: 45 = 15*3.
>
> Ich weiss, dass die Gruppe mit 15 Elementen zyklisch ist
> und damit isomorph zu Z/15Z ist. Ich schaue mir jetzt das
> Zentrum von G an. Dieses Zentrum ist Untergruppe und muss
> also nach Lagrange 45 teilen.
>
> => Ordnung des Zentrums ist entweder 15 oder gar 45.
> (Ordnung 1 fällt weg, da wir ja eine zyklische Untergruppe
> haben, stimmt das??)
nein, warum sollten die elemente dieser zyklische untergruppe mit elementen außerhalb von dieser zyklischen untergruppe vertauschen? bei nicht abelschen gruppen ist es häufig so, dass von einem beliebigen element erzeugte untergruppen nicht im zentrum der gruppe liegen. (beachte etwa [mm] $Z(S_n) [/mm] = [mm] \{ \textrm{id} \}$ [/mm] für $n [mm] \geq [/mm] 3$, jedoch erzeugt ein beliebiges element [mm] $\sigma \in S_n$ [/mm] immer eine zyklische untergruppe).
> Annahme: ord Z(G) = 15
> Ich definiere jetzt die Faktorgruppe G/Z(G). Das ist
> wiederum eine Untergruppe von G und es gibt also 3
> Linksnebenklassen. Diese Gruppe hat also Ordnung 3 =>
> abelsch (ja sogar zyklisch) (Widerspruch zur Annahme)
>
> Das heisst, ich kann die Gruppe 45 mit einem Produkt aus
> der zyklischen Gruppe mit ord 15 und eine abelsche gruppe
> mit ord 3 identifizieren.
>
> => Damit ist G abelsch.
>
> MEine frage nun: Stimmt die Idee? Wie lässt sich das
> konkret mit einer Abb. schreiben?
> (Ich selber vermute, dass es falsch ist, da nach diesem
> Beweis die Gruppe auch zyklisch wäre... Es ist aber NUR die
> Kommutativität gefragt)
hm. warum hättest du damit gezeigt, dass die gruppe zyklisch ist?
ich befürchte der ansatz wird aber nicht zum ziel führen, da man meiner einschätzung nach a priori keine vernünftige aussage über die größe des zentrums machen kann. ich würde dir eher raten mal die sylow-sätze anzuschauen und zu prüfen, wieviele $3$-sylowgruppen und wieviele $5$-sylowgruppen es gibt.
grüße
andreas
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Danke für die Antwort.
Ja du hast recht, die zyklische Untergruppe garantiert mir nicht, dass diese im Zentrum liegt. Ich überlege dann morgen weiter.
Es gibt genau eine 3-sylow-gruppe sowie eine 5-sylow gruppe, d.h. ich finde einen Normalteiler der Ordnung 9 (oder?) bzw. Ordnung 5. Soll ich jetzt die Faktorgruppe bzgl. dieser Normalteiler definieren? Wäre das eine Möglichkeit?
Ciao
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Mi 17.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Es gibt genau eine 3-sylow-gruppe sowie eine 5-sylow
> gruppe, d.h. ich finde einen Normalteiler der Ordnung 9
> (oder?) bzw. Ordnung 5.
ja genau. warum gibt es denn von jeder dieser nur eine?
> Soll ich jetzt die Faktorgruppe
> bzgl. dieser Normalteiler definieren? Wäre das eine
> Möglichkeit?
das könnte wohl in die richtige richtung führen, aber ich denke es ist einfacher wenn man sich folgendes überlegt: ist $N$ die $3$-sylowgruppe und $M$ die $5$-sylowgruppe von $G$, dann gilt $N [mm] \cap [/mm] M = [mm] \{1\}$, [/mm] dann vertauschen $M$ und $N$ elementenweise, das heißt [mm] $\forall \, [/mm] m [mm] \in [/mm] M [mm] \; \forall \, [/mm] n [mm] \in [/mm] N: mn = nm$ und somit gilt $MN [mm] \cong [/mm] M [mm] \times [/mm] N$ und aus ordnungsgründen gilt $MN = G$. weiter sieht man leicht, dass $M$ und $N$ abelsch sind als gruppen der ordnung $p$ bezeihungsweise [mm] $q^2$ [/mm] für primzahlen $p$ beziehungsweise $q$. aber das direkte produkt abelscher gruppen ist auch wieder abelsch, folglich auch $G$.
wenn dir dann die gruppen der ordnung $9$ bekannt sind, kannst du dann sogar zu jeder der zwei isomorphieklassen von gruppen der ordnung 45 einen vertreter angeben.
grüeß
andreas
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Danke Andreas,
ich kann den Beweis nachvollziehen. Ich habe bloss Mühe mit dem elementenweise Vertauschen.
> das könnte wohl in die richtige richtung führen, aber ich
> denke es ist einfacher wenn man sich folgendes überlegt:
> ist [mm]N[/mm] die [mm]3[/mm]-sylowgruppe und [mm]M[/mm] die [mm]5[/mm]-sylowgruppe von [mm]G[/mm], dann
> gilt [mm]N \cap M = \{1\}[/mm], dann vertauschen [mm]M[/mm] und [mm]N[/mm]
> elementenweise, das heißt [mm]\forall \, m \in M \; \forall \, n \in N: mn = nm[/mm]
Wieso folgt das? Wie kommst du da drauf?
> und somit gilt [mm]MN \cong M \times N[/mm] und aus ordnungsgründen
> gilt [mm]MN = G[/mm]. weiter sieht man leicht, dass [mm]M[/mm] und [mm]N[/mm] abelsch
> sind als gruppen der ordnung [mm]p[/mm] bezeihungsweise [mm]q^2[/mm] für
> primzahlen [mm]p[/mm] beziehungsweise [mm]q[/mm]. aber das direkte produkt
> abelscher gruppen ist auch wieder abelsch, folglich auch
> [mm]G[/mm].
>
> wenn dir dann die gruppen der ordnung [mm]9[/mm] bekannt sind,
> kannst du dann sogar zu jeder der zwei isomorphieklassen
> von gruppen der ordnung 45 einen vertreter angeben.
>
> grüeß
> andreas
Die Isomorphen Gruppen zu einer Gruppe der Ordnung 9 sind Z/9Z oder Z/3z x Z/3Z.
Tschüss!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Mi 17.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> ich kann den Beweis nachvollziehen.
das ist gut 
> > das könnte wohl in die richtige richtung führen, aber ich
> > denke es ist einfacher wenn man sich folgendes überlegt:
> > ist [mm]N[/mm] die [mm]3[/mm]-sylowgruppe und [mm]M[/mm] die [mm]5[/mm]-sylowgruppe von [mm]G[/mm], dann
> > gilt [mm]N \cap M = \{1\}[/mm], dann vertauschen [mm]M[/mm] und [mm]N[/mm]
> > elementenweise, das heißt [mm]\forall \, m \in M \; \forall \, n \in N: mn = nm[/mm]
> Wieso folgt das? Wie kommst du da drauf?
zeige, dass das element [mm] $n^{-1}m^{-1}nm \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N$ liegt (dazu musst du das produkt auf zwei verschiedene weisen klammern und verwenden, dass $M, N [mm] \unlhd [/mm] G$). da der schnitt einelementig ist, kommt man nach kurzer rechnung auf das gewünschte ergebnis.
> Die Isomorphen Gruppen zu einer Gruppe der Ordnung 9 sind
> Z/9Z oder Z/3z x Z/3Z.
du meinst natürlich das richtige: die zwei nicht-isomorphen gruppen der ordnung $9$ sind...
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Mi 17.10.2007 | | Autor: | GorkyPark |
Merci!
Ich habe den Tipp verstanden :D. Algebra ist ja ein gedankliches Konstrukt ohne Ende!
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