Abelsch < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige: Ist [mm] \gamma(a) [/mm] = [mm] a^2, [/mm] a [mm] \in [/mm] G, ein Endomorphismus von G, dann
ist G Abelsch. |
Ich denke dies bedeutet ich soll zeigen das gilt: ab=ba für alle a, b [mm] \in [/mm] G. Angefangen habe ich so:
Falls ein Endomorphismus 4 existiert gilt:
[mm] \gamma(a) [/mm] = [mm] a^2
[/mm]
[mm] \gamma(ab) [/mm] = [mm] \gamma(a) \gamma(b)
[/mm]
...nun komme ich weder rechts noch links weiter, kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 So 07.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man zeige: Ist [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2,[/mm] a [mm]\in[/mm] G, ein Endomorphismus
> von G, dann
> ist G Abelsch.
> Ich denke dies bedeutet ich soll zeigen das gilt: ab=ba
> für alle a, b [mm]\in[/mm] G. Angefangen habe ich so:
>
> Falls ein Endomorphismus 4 existiert gilt:
Willst du damit sagen: "Falls [mm] $\gamma$ [/mm] ein Endomorphismus ist gilt:"?
> [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
> [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
Warum setzt du nicht mal die Definition von [mm] $\gamma$ [/mm] in die zweite Zeile ein?
LG Felix
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> Willst du damit sagen: "Falls [mm]\gamma[/mm] ein Endomorphismus ist
> gilt:"?
Genau das habe ich mir heute früh vorgenommen:)
> > [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
> > [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
>
> Warum setzt du nicht mal die Definition von [mm]\gamma[/mm] in die
> zweite Zeile ein?
[mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
nach Definition: [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
[mm]a^2\gamma(b)[/mm] = [mm]a^2 \gamma(b)[/mm]
...steht auf beiden Seiten das Gleiche, aber auch in gleicher reihenfolge und genau diese möchte ich doch ändern!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 So 07.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Willst du damit sagen: "Falls [mm]\gamma[/mm] ein Endomorphismus ist
> > gilt:"?
> Genau das habe ich mir heute früh vorgenommen:)
>
> > > [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
> > > [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
> >
> > Warum setzt du nicht mal die Definition von [mm]\gamma[/mm] in die
> > zweite Zeile ein?
>
> [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
> nach Definition:
> [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
> [mm]a^2\gamma(b)[/mm] = [mm]a^2 \gamma(b)[/mm]
> ...steht auf beiden Seiten
> das Gleiche, aber auch in gleicher reihenfolge und genau
> diese möchte ich doch ändern!
Das ist doch Quark.
Da stand [mm] $\gamma(a [/mm] b)$ auf der linken Seite und nicht [mm] $\gamma(a) \gamma(b)$.
[/mm]
Warum tust du dann so, als haette da [mm] $\gamma(a) \gamma(b)$ [/mm] gestanden?
Und [mm] $\gamma(b) [/mm] = [mm] b^2$. [/mm] Das kannst du ruhig auch benutzen.
LG Felix
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> > [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
> > nach Definition:
> > [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
> > [mm]a^2\gamma(b)[/mm] = [mm]a^2 \gamma(b)[/mm]
> > ...steht auf beiden
> Seiten
> > das Gleiche, aber auch in gleicher reihenfolge und genau
> > diese möchte ich doch ändern!
>
> Das ist doch Quark.
>
> Da stand [mm]\gamma(a b)[/mm] auf der linken Seite und nicht
> [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm].
>
> Warum tust du dann so, als haette da [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
> gestanden?
>
> Und [mm]\gamma(b) = b^2[/mm]. Das kannst du ruhig auch benutzen.
>
> LG Felix
[mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
nach Definition gilt: [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
[mm]a^2b^2[/mm] = [mm]a^2 b^2[/mm]
kann ich jetzt aus dem kommutativgesetzt der multiplikation schließen, dass G Abelsch ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 So 07.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
> > > nach
> Definition:
> > > [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
> > > [mm]a^2\gamma(b)[/mm] = [mm]a^2 \gamma(b)[/mm]
> > > ...steht auf
> beiden
> > Seiten
> > > das Gleiche, aber auch in gleicher reihenfolge und genau
> > > diese möchte ich doch ändern!
> >
> > Das ist doch Quark.
> >
> > Da stand [mm]\gamma(a b)[/mm] auf der linken Seite und nicht
> > [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm].
> >
> > Warum tust du dann so, als haette da [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
> > gestanden?
> >
> > Und [mm]\gamma(b) = b^2[/mm]. Das kannst du ruhig auch benutzen.
> >
> > LG Felix
>
> [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
> nach Definition gilt:
> [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
> [mm]a^2b^2[/mm] = [mm]a^2 b^2[/mm]
> kann ich jetzt aus dem kommutativgesetzt
> der multiplikation schließen, dass G Abelsch ist?
Was machst Du denn da ?
Es ist [mm] \gamma(ab)= (ab)^2= [/mm] abab
Also: aus [mm] \gamma(ab)=\gamma(a)* \gamma(b) [/mm] folgt:
[mm] abab=a^2b^2
[/mm]
Jetzt Du
FRED
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> > [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
> > nach Definition
> gilt:
> > [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
> > [mm]a^2b^2[/mm] = [mm]a^2 b^2[/mm]
> > kann ich jetzt aus dem
> kommutativgesetzt
> > der multiplikation schließen, dass G Abelsch ist?
>
>
> Was machst Du denn da ?
>
> Es ist [mm]\gamma(ab)= (ab)^2=[/mm] abab
>
> Also: aus [mm]\gamma(ab)=\gamma(a)* \gamma(b)[/mm] folgt:
>
> [mm]abab=a^2b^2[/mm]
>
> Jetzt Du
>
> FRED
[mm]abab=a^2b^2[/mm]
[mm]abab=aabb^[/mm]
[mm]aabb=aabb^[/mm]
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 So 07.11.2010 | | Autor: | felixf |
> > > [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
> > > nach Definition
> > gilt:
> > > [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
> > > [mm]a^2b^2[/mm] = [mm]a^2 b^2[/mm]
> > > kann ich jetzt aus dem
> > kommutativgesetzt
> > > der multiplikation schließen, dass G Abelsch ist?
> >
> >
> > Was machst Du denn da ?
> >
> > Es ist [mm]\gamma(ab)= (ab)^2=[/mm] abab
> >
> > Also: aus [mm]\gamma(ab)=\gamma(a)* \gamma(b)[/mm] folgt:
> >
> > [mm]abab=a^2b^2[/mm]
> >
> > Jetzt Du
> >
> > FRED
>
> [mm]abab=a^2b^2[/mm]
> [mm]abab=aabb^[/mm]
> [mm]aabb=aabb^[/mm]
... und? Was haben diese drei Aussagen miteinander zu tun?
LG Felix
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Da die multiplikation kommutativ ist und auf beiden seiten die selben Faktoren stehen ist das produkt gleich. Wo ist mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 So 07.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Da die multiplikation kommutativ ist und auf beiden seiten
> die selben Faktoren stehen ist das produkt gleich. Wo ist
> mein Fehler?
Der Fehler ist, dass du verwendest, das die Multiplikation kommutativ ist.
Lies dir die Aufgabenstellung nochmal genau durch.
LG Felix
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joa...ich möchte zeigen das G Abelsch ist...aber wie kann ich sonst mit
[mm] abab=a^2b^2 [/mm] weiter arbeiten?
jede Umordnung setzt die kommutativität vorraus und eine weitere definition zum einsetzen habe ich auch nicht...daher stimmt auch dies nicht:
[mm] abab=a^2b^2 \gdw abab=(ab)^2 [/mm] oder [mm] abab=a^2b^2 \gdw a^2b^2=a^2b^2
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 So 07.11.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> joa...ich möchte zeigen das G Abelsch ist...aber wie kann
> ich sonst mit
> [mm]abab=a^2b^2[/mm] weiter arbeiten?
Na, mit etwas passendem multiplizieren zum Beispiel.
Du musst etwas mehr selber probieren und nicht kurz gucken, nix sehen und gleich noch eine Frage hier stellen.
LG Felix
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$ [mm] \gamma(ab)=\gamma(a) \gamma(b) [/mm] $
[mm] (ab)^2=a^2b^2
[/mm]
$ [mm] abab=a^2b^2 [/mm] $ $*1/b $
$ [mm] aba=a^2 [/mm] b $ $ *1/a $
$ ba=ab^ $ ich komme einfach nicht darauf wie ich beide seiten in die gleiche Reihenfolge bekomme...kann mir jemand helfen?
Gruß Julia
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Hallo,
statt [mm] \bruch{1}{a} [/mm] solltest Du lieber [mm] a^{-1} [/mm] schreiben.
Wir haben's hier ja mit einer beliebigen gruppe zu tun und nicht mit ganzen Zahlen oder so.
> [mm]\gamma(ab)=\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
> [mm](ab)^2=a^2b^2[/mm]
> [mm]abab=a^2b^2[/mm] | [mm]*1/b[/mm]
> [mm]aba=a^2 b[/mm] | [mm]*1/a[/mm]
Schreib das nicht so, sondern führe die Multiplikationen wirklich aus.
Hier kommt es ja darauf an, daß Du an die richtige Seite multiplizierst.
> [mm]ba=ab^[/mm] ich komme einfach nicht darauf wie ich beide
> seiten in die gleiche Reihenfolge bekomme
Warum willst Du das?
Wenn aus der Eigenschaft Deines Endomorphismus folgt, daß ab=ab, dann könntest Du gleich im Bett liegen bleiben und träumen, statt hier herumzurechnen: diese Aussage wäre nicht sehr bedeutungsvoll...
Ich verstehe nicht, was Du noch willst jetzt.
Du wolltest doch zeigen, daß aus der Eigenschaft Deiner Abbildung folgt, daß g kommutativ ist, daß für alle a,b also gilt ab=ba.
warum gefällt Dir das jetzt nicht?
Gruß v. Angela
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