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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 So 07.11.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 2.3.
a) Sei z=a+bi eine komplexe Zahl und bezeichne [mm] $L:\IC \rightarrow \IC$ [/mm] die Abbildung definiert durch [mm] $L(w)=z\cdot [/mm] w$. Es soll nachgerechnet werden, dass $L$ linear ist, wenn [mm] $\IC$ [/mm] als reeller Vektorraum aufgefasst wird und die zugehörige Matrix bezogen auf die Basis $(1,i)$ von [mm] $\IC$ [/mm] über [mm] $\IR$ [/mm] bestimmt werden.
b) Bezeichne [mm] $P_{n}$ [/mm] den reellen Vektorraum der rellen Polynome von Höchstgrad $n$, und sei [mm] $L:P_{2} \rightarrow P_{4}$ [/mm] definiert durch [mm] $L_{(p)}$ [/mm] := [mm] (x^{2}-2x)\cdot [/mm] p. Es soll überprüft werden, dass L linear ist und durch die dazugehörige Matrix bezüglich der jeweiligen Basen bestehend aus Potenzen von x beschrieben werden. |
Hallo,
Die Matrix zur Abbildung finde ich so:
Die Basis aus dem zu abbildenden Raum wird abgebildet. Dann wird durch die Basis des abgebildeten Raums eine Linearkombination zu dieser Abbildung gesucht? Und die Koeffizienten die dann bei dieser Linearkombination rauskommen sind die gesuchte Matrix.
a)
Die Linearität nachrechnen:
$L(w+m)=z(w+m)=zw+zm=L(w)+L(m)$
[mm] $L(\lambda w)=\lambda [/mm] z w= [mm] \lambda [/mm] L(w)$
hier kenne ich die Basis des neuen Raums nicht... ? Wie finde ich also die Matrix?
b)
[mm] $x^{2}-2x:=d$
[/mm]
$L(p+q)=d(p+q)=dp+dq=L(p)+L(q)$
[mm] $L(\lambda p)=\lambda [/mm] dp = [mm] \lambda [/mm] L(p)$
Auch hier wieder das Problem, keine Basen zu [mm] $P_{2}$ [/mm] oder zu [mm] $P_{4}$ zu [/mm] finden....
Bin sehr dankbar wenn mir jemand den Weg weisen kann und habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> 2.3.
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> a) Sei z=a+bi eine komplexe Zahl und bezeichne [mm]L:\IC \rightarrow \IC[/mm]
> die Abbildung definiert durch [mm]L(w)=z\cdot w[/mm]. Es soll
> nachgerechnet werden, dass [mm]L[/mm] linear ist, wenn [mm]\IC[/mm] als
> reeller Vektorraum aufgefasst wird und die zugehörige
> Matrix bezogen auf die Basis [mm](1,i)[/mm] von [mm]\IC[/mm] über [mm]\IR[/mm]
> bestimmt werden.
>
> b) Bezeichne [mm]P_{n}[/mm] den reellen Vektorraum der rellen
> Polynome von Höchstgrad [mm]n[/mm], und sei [mm]L:P_{2} \rightarrow P_{4}[/mm]
> definiert durch [mm]L_{(p)}[/mm] := [mm](x^{2}-2x)\cdot[/mm] p. Es soll
> überprüft werden, dass L linear ist und durch die
> dazugehörige Matrix bezüglich der jeweiligen Basen
> bestehend aus Potenzen von x beschrieben werden.
> Hallo,
>
> Die Matrix zur Abbildung finde ich so:
>
> Die Basis aus dem zu abbildenden Raum wird abgebildet. Dann
> wird durch die Basis des abgebildeten Raums eine
> Linearkombination zu dieser Abbildung gesucht? Und die
> Koeffizienten die dann bei dieser Linearkombination
> rauskommen sind die gesuchte Matrix.
Hallo,
möglicherweise meinst Du das Richtige.
>
> a)
>
> Die Linearität nachrechnen:
>
> [mm]L(w+m)=z(w+m)=zw+zm=L(w)+L(m)[/mm]
> [mm]L(\lambda w)=\lambda z w= \lambda L(w)[/mm]
>
> hier kenne ich die Basis des neuen Raums nicht... ? Wie
> finde ich also die Matrix?
Na, Du bildest doch au dem [mm] \IC [/mm] in den [mm] \IC [/mm] ab. Als VR über [mm] \IR [/mm] ist der [mm] \IC [/mm] zweidimensional, und eine Basis von [mm] \IC [/mm] ist doch sogar in der Aufagenstellung angegeben. (?)
Berechne die Bilder der Basisvektoren, schreibe sie als Linearkombination der Basisvektoren und stell die Matrix auf.
>
> b)
> [mm]x^{2}-2x:=d[/mm]
> [mm]L(p+q)=d(p+q)=dp+dq=L(p)+L(q)[/mm]
> [mm]L(\lambda p)=\lambda dp = \lambda L(p)[/mm]
>
> Auch hier wieder das Problem, keine Basen zu [mm]P_{2}[/mm] oder zu
> [mm]P_{4}[/mm] zu finden....
Was [mm] P_2 [/mm] und [mm] P_4 [/mm] sind, weißt Du?
Dann sollte Dir auch klar sein, daß die kanonischen Basen dieser Räume [mm] B_2=(1,x,x^2) [/mm] bzw. [mm] B_4=(1,x,x^2,x^3,x^4) [/mm] sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mi 10.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo Angela,
Also ich bekomm bei der ersten die Matrix [mm] $\vektor{a+bi& -ai-b\\ai-b & a+bi}$ [/mm] raus, stimmt das? Als zweite Basis habe ich den auf (1,i) senkrecht stehenden Vektor (-i,1) genommen.
Bei der zweiten muss ich noch zwei andere Basisvektoren suchen und die dann einsetzen, bzw. 5 andere Basisvektoren suchen und die dann einsetzen und zur Matrix zusammenfügen?
Danke für die Hilfe
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> Hallo Angela,
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> Also ich bekomm bei der ersten die Matrix [mm]\vektor{a+bi& -ai-b\\
ai-b & a+bi}[/mm]
> raus, stimmt das? Als zweite Basis habe ich den auf (1,i)
> senkrecht stehenden Vektor (-i,1) genommen.
Hallo,
ersteinmal:
Du meinst sicher nit "als zweite Basis" sondern "als zweiten Basisvektor".
Ich rate Dir, mit den math. Begriffen sehr genau umzugehen, also auf Deine Sprache zu achten - aus dem Sprachwirrwarr wird nämlich sonst gern ein Kopfwirrwarr, vor allem in Krisensituationen=Klausur.
Das war aber eher nebenbei.
Die Sache ist dramatischer:
Du hast den [mm] \IC [/mm] als zweidimensionalen Vektorraum über [mm] \IR [/mm] nicht richtig verstanden.
Jedes Element aus [mm] \IC [/mm] kann man doch schreiben als x+iy mit [mm] x,y\in \IR.
[/mm]
Also ist jede Zahl aus [mm] \IC [/mm] als [mm] \IR-Linearkombination [/mm] von 1 und i darstellbar. 1 und i sind linear unabhängig, also bilden sie eine Basis des Vektorraumes [mm] \IC. [/mm] (Wenn [mm] \IC [/mm] der Vektorraum ist, sind die Vektoren ja Elemente von [mm] \IC, [/mm] also auch die Basisvektoren.)
Du mußt also, um die Matrix bzgl der Basis B=(1,i) aufzustellen, f(1) und f(i) berechnen, als Koordinatenvektor bzgl B schreiben und in die Matrix packen.
> Bei der zweiten muss ich noch zwei andere Basisvektoren
> suchen und die dann einsetzen, bzw. 5 andere Basisvektoren
> suchen und die dann einsetzen und zur Matrix
> zusammenfügen?
S.o.
Du hast wesentliche Dinge der linearen Algebra nicht verstanden.
Ein Vektor ist nicht zwangsläufig ein Spalten- oder Zeilenvektor, wie Du ihn aus der Schule kennst.
Ein Vektor ist schlicht und ergreifend ein Element eines Vektorraumes. Nicht mehr, nicht weniger.
Mal angenommen, Du wärest nicht in der ersten Klasse, sondern würdest bereits Abi machen oder gar studieren: dann hättest Du im Verlauf Deiner Studien bereits einige verschiedene Vektorräume, die nicht der [mm] K^n [/mm] mit [mm] K=\IR, \IC, \IQ [/mm] sind, kennengelernt. Ein Beispiel wäre der Raum der Funktionen , die aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbilden. Die Vektoren dieses Raumes sind Funktionen.
Entsprechend hast Du es nun mit dem Polynomraum zu tun.
Die Vektoren dieses Raumes sind halt Polynome, und mit den drei Vektoren 1, x und [mm] x^2 [/mm] hast Du eine rechtschaffene Basis des [mm] P_2.
[/mm]
Du brauchst für die zweite Aufgabe also die Bilder dieser drei Basisvektoren.
Wenn Du sie hast, mußt Du diese als Koordinatenvektoren bzgl der Standardbasis [mm] B_4=(1,x,x^2,x^3,x^4) [/mm] schreiben.
Der Vektor v:=5 + [mm] 6x^2+7x^4 [/mm] wäre als Koordinatenvektor bzgl B: [mm] v=\vektor{5\\0\\6\\0\\7}_{(B)}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Danke für die Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Do 11.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
Ich bin mir nicht sicher.
$L(1)= 1*(a+bi)=a+bi $ und $L(i)=i*(a+bi)=ai-b$ und die Matrix wäre dann also [mm] $\vektor{a+bi & ai-b}$.... [/mm]
Dankeschön.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Do 11.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
C als 2d Vektorraum zu sehen, gibt die Basis (1,i) in C und in [mm] R^2:
[/mm]
[mm] (1,0)^T [/mm] und [mm] (0,1)^T
[/mm]
also [mm] z=(a,b)^T
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Do 11.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Was bedeutet dieses T?
Danke...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Do 11.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
T im exponent heisst transponiert, hier also nur dass ich zu faul war Spaltenvektoren zu schreiben, das hoch T macht aus zeilenvektoren Spaltenvektoren, eine matrix hoch T ist die transponierte, also an der Hauptdiagonalen gespiegelte.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Sa 13.11.2010 | | Autor: | kushkush |
OK, dankeschön!
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