Abbildungsmatrix\zweite Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:18 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Mino1337 |
| Aufgabe | Gegeben sei B={2x,x+1} eine Basis des R<=1[x], sowie die lineare Abbildung
L:R<=1[x] ===> R<=1[x]; ax+b ===> (3a-3b)x+(2a-2b). |
Also mir geht es gerade nicht um diese Aufgabe, sie soll nur den Typus der Aufgaben wiederspiegeln um die es mir bei meiner frage geht nämlich Aufgaben die die Abbildende Matrix verlangen aber nur eine Basis geben.
In der Theorie bin ich gerade dabei es zu verstehen.
1. Man nimmt den ersten Basisvektor und wirft ihn in V rein (hier ax+b)
2. Man Schreibt sich auf was bei W (hier (3a-3b)x+(2a-2b)) raus kommt
3. Der Vektor der da raus kommt (ein Bild von Bw) muss man nun als Linearkombination der Basis von W darstellen.
Also wäre die Basis von W = {x,y,z} dann im falle des ersten Basisvektors 2x würde 6x+4 rauskommen weil ax = 2x und 0=b ===> (3*2-3*0)x+(2*2-2*0)
6x+4 = 6*{x}+4*{y}+0*{z} ...
Tja und 6, 4, 0 wäre dann meine erste Spalte der Abbildungsmatrix.
So würde ich vorgehen wenn ich die zweite Basis hätte aber ich habe sie nicht also wie bekomme ich sie ?
Ich bitte darum zu versuchen mir die frage die ich gestellt habe zu beantworten sicher gibt es einen total eleganten Weg der nix mit der zweiten Basis zu tun hat aber ich habe gerade erst diesen Weg gelernt und den möchte ich ersteinmal festigen sodass ich überhaupt eine Möglichkeit habe solche aufgaben zu Lösen egal ob sie Elegant ist =) ...
Ich bin nich so gut in Mathe XD ...
Dankeschön =)
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> Gegeben sei B={2x,x+1} eine Basis des R<=1[x], sowie die
> lineare Abbildung
> L:R<=1[x] ===> R<=1[x]; ax+b ===> (3a-3b)x+(2a-2b).
> Also mir geht es gerade nicht um diese Aufgabe, sie soll
> nur den Typus der Aufgaben wiederspiegeln um die es mir bei
> meiner frage geht nämlich Aufgaben die die Abbildende
> Matrix verlangen aber nur eine Basis geben.
>
> In der Theorie bin ich gerade dabei es zu verstehen.
>
> 1. Man nimmt den ersten Basisvektor und wirft ihn in V rein
> (hier ax+b)
> 2. Man Schreibt sich auf was bei W (hier (3a-3b)x+(2a-2b))
> raus kommt
> 3. Der Vektor der da raus kommt (ein Bild von Bw) muss man
> nun als Linearkombination der Basis von W darstellen.
>
Hallo,
ja.
Dein Problem scheint zu sein, daß Du meinst, keine zweite Basis zu haben.
In der geposteten Aufgabe sind doch Startraum V und Zielraum W gleich, nämlich der [mm] \IR_{<=1}[x],
[/mm]
und Dir ist eine Basis B gegeben.
Wenn nichts anderes dasteht, ist die Basis sowohl im Start- als auch im Zielraum zu vewenden.
Stellen wir also die Abbildungsmatrix der Abbildung L auf:
L(2x)=6x+4=1*2x+4*(x+1), also ist [mm] \vektor{2\\4} [/mm] die erste Spalte der Abbildungsmatrix von L bzgl B,
L(x+1)=0=0*2x+0*(x+1), also ist [mm] \vektor{0\\0} [/mm] die zweite Spalte der Abbildungsmatrix von L bzgl B.
Wäre gefordert, die Abbildungsmatrix von L bzgl B im Startraum und C=(2x+2, x) im Bildraum aufzustellen,
ginge das so:
L(2x)=6x+4=2*(2x+1)+2*x, also ist [mm] \vektor{2\\2} [/mm] die erste Spalte der gesuchten Abbildungsmatrix,
L(x+1)=0=0*(2x+1)+0*x, also ist [mm] \vektor{0\\0} [/mm] die zweite Spalte der gesuchten Abbildungsmatrix.
LG Angela
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