Abbildungsmatrix bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Do 05.03.2015 | | Autor: | SoWhat |
| Aufgabe | A)
[mm] M=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0&1&1}
[/mm]
Bestimme inverse Matrix.
B)
[mm] f_1 [/mm] = [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 0} f_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 1} f_3=\vektor{ 0\\0\\1}
[/mm]
[mm] g_1=\vektor{1\\2\\1} g_2=\vektor{1\\1\\2} g_3=\vektor{2\\1\\1}
[/mm]
Bestimmen Sie eine Matrix N mit [mm] N\cdot f_i [/mm] = [mm] g_i [/mm] , für i=1,2,3 |
Hallo,
Die inverse berechnen ist natürlich kein problem. auch der lösungsweg mit der inversen ist mir klar.
Was mir nicht klar ist ist, was falsch am folgenden Gedankengang ist:
Ich habe die Bilder zu den [mm] f_i, [/mm] nämlich die [mm] g_i. [/mm]
Die Abbildungsmatrix besitzt die Bilder der [mm] f_i [/mm] (ausgedrückt in [mm] E_3--> id(g_i) [/mm] ) als Spaltenvektoren. Damit wäre
[mm] A=(g_1, g_2, g_3) [/mm] meine Abbildungsmatrix.
Das ist dieser Satz:
Die Abbildungsmatrix besitzt die abgebildeten und in der Ziel-Basis ausgedrückten Basisvektoren, als Spaltenvektoren.
Ich mach da jetzt schon länger rum mit... wieso ist das hier nicht anwendbar???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:37 Do 05.03.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> B)
> [mm]f_1[/mm] = [mm]\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0} f_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 1} f_3=\vektor{ 0\\0\\1}[/mm]
>
> [mm]g_1=\vektor{1\\2\\1} g_2=\vektor{1\\1\\2} g_3=\vektor{2\\1\\1}[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Matrix N mit [mm]N\cdot f_i[/mm] = [mm]g_i[/mm] , für
> i=1,2,3
> Was mir nicht klar ist ist, was falsch am folgenden
> Gedankengang ist:
>
> Ich habe die Bilder zu den [mm]f_i,[/mm] nämlich die [mm]g_i.[/mm]
> Die Abbildungsmatrix besitzt die Bilder der [mm]f_i[/mm]
> (ausgedrückt in [mm]E_3--> id(g_i)[/mm] ) als Spaltenvektoren.
> Damit wäre
> [mm]A=(g_1, g_2, g_3)[/mm] meine Abbildungsmatrix.
>
> Das ist dieser Satz:
> Die Abbildungsmatrix besitzt die abgebildeten und in der
> Ziel-Basis ausgedrückten Basisvektoren, als
> Spaltenvektoren.
>
> Ich mach da jetzt schon länger rum mit... wieso ist das
> hier nicht anwendbar???
Weil hier alles in der kanonischen Basis ausgedrückt ist. Das steht zwar nicht da, aber eben deswegen ist es so.
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Do 05.03.2015 | | Autor: | SoWhat |
> Guten Morgen!
>
> > B)
> > [mm]f_1[/mm] = [mm]\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0} f_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 1} f_3=\vektor{ 0\\0\\1}[/mm]
>
> >
> > [mm]g_1=\vektor{1\\2\\1} g_2=\vektor{1\\1\\2} g_3=\vektor{2\\1\\1}[/mm]
>
> >
> > Bestimmen Sie eine Matrix N mit [mm]N\cdot f_i[/mm] = [mm]g_i[/mm] , für
> > i=1,2,3
>
> > Was mir nicht klar ist ist, was falsch am folgenden
> > Gedankengang ist:
> >
> > Ich habe die Bilder zu den [mm]f_i,[/mm] nämlich die [mm]g_i.[/mm]
> > Die Abbildungsmatrix besitzt die Bilder der [mm]f_i[/mm]
> > (ausgedrückt in [mm]E_3--> id(g_i)[/mm] ) als Spaltenvektoren.
> > Damit wäre
> > [mm]A=(g_1, g_2, g_3)[/mm] meine Abbildungsmatrix.
> >
> > Das ist dieser Satz:
> > Die Abbildungsmatrix besitzt die abgebildeten und in
> der
> > Ziel-Basis ausgedrückten Basisvektoren, als
> > Spaltenvektoren.
> >
> > Ich mach da jetzt schon länger rum mit... wieso ist das
> > hier nicht anwendbar???
>
> Weil hier alles in der kanonischen Basis ausgedrückt ist.
> Das steht zwar nicht da, aber eben deswegen ist es so.
> Gruß aus HH
Hallo,
leider komme ich mit der antwort noch nicht ganz zurecht.
Wenn sowohl Basis des Urbild VR [mm] E_3 [/mm] ist, als auch die des Zielbild VR, dann gilt doch der Satz, dass die Bilder der abzubildenden Vektoren die Spalten der Abbildungsmatrix sind, nicht?
könntet ihr das bitte ein bisschen ausführlich erklären, warum das nicht so ist? ... wie gesagt hat die erste antwort leider noch nicht für mich gepasst :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Do 05.03.2015 | | Autor: | MacMath |
Du drückst die Urbilder in der falschen Basis aus.
Ist dir aufgefallen, dass deine Matrix (wenn es so ginge wie du es machst) unabhängig von den [mm] $f_i$ [/mm] ist?
Ist dir klar, dass das nicht so sein sollte?
Durch deine Matrix ist [mm] $Ne_i$ [/mm] das, was eigentlich [mm] $Nf_i$ [/mm] sein soll.
Du musst also noch einen Basiswechsel zwischen Standardbasis und [mm] $f_i$-Basis [/mm] vollziehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Do 05.03.2015 | | Autor: | MacMath |
Ich sehe gerade, dass du die benötigte Basiswechselmatrix $M$ bereits kennst, überleg mal woher die stammen könnte *g*.
Du musst nur noch das Produkt $NM$ bilden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 05.03.2015 | | Autor: | SoWhat |
> Du drückst die Urbilder in der falschen Basis aus.
>
> Ist dir aufgefallen, dass deine Matrix (wenn es so ginge
> wie du es machst) unabhängig von den [mm]f_i[/mm] ist?
> Ist dir klar, dass das nicht so sein sollte?
>
> Durch deine Matrix ist [mm]Ne_i[/mm] das, was eigentlich [mm]Nf_i[/mm] sein
> soll.
>
> Du musst also noch einen Basiswechsel zwischen
Okok... sorry aber ich bin immer verwirrt, wenn nicht explizit dasteht, von wo nach wo abgebildet wird. Muss wohl noch paar solche aufgaben rechnen.
Kurz zur Absicherung mein Fazit als Frage an euch:
es ist [mm] id(f_i) [/mm] die abbildung von den [mm] f_i-Koordinaten [/mm] in die E-Koordinaten. Es ist [mm] id(g_i) [/mm] ebenso die abb. von den [mm] g_i-K. [/mm] in E-K.
Jetzt gibt es 2 Möglichkeiten:
1. entweder die Abb.matrix von f nach g finden
2. oder den Umweg über die E-Koordinaten gehen, wobei ich natürlich dann die inverse für "von E nach [mm] g_i" [/mm] brauche.
Korrekt? (unsauber vormuliert, aber man versteht was ich meine :) )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Fr 06.03.2015 | | Autor: | MacMath |
[Ich bin ein bisschen mit der Benennung der Matrizen A und N durcheinander gekommen, jetzt passt es zu deiner ursprünglichen Frage]
$id$ bezeichnet die Identität, also die Abbildung, die jedes $x$ auf sich selbst abbildet.
Da die Einheitsmatrix (als Abbildungsmatrix von $id$) nur zu sich selbst ähnlich ist, spielt die Basis für die Abbildungsmatrix keine Rolle.
Ansonsten verstehe ich die Frage nicht.
Ein Matrixprodukt wird "von rechts nach links durchlaufen" (aus Sicht des Vektors).
Du hast die Matrix $A$. Wenn du [mm] $Ae_i$ [/mm] ausrechnet, bekommst du das, was *eigentlich* für [mm] $Nf_i$ [/mm] rauskommen soll.
Wähle also $M$, sodass [mm] $Mf_i=e_i$, [/mm] denn dann gilt:
[mm] $AMf_i=Ae_i=Nf_i$.
[/mm]
So... welche Matrix M erfüllt denn nun [mm] $Mf_i=e_i$?
[/mm]
Vielleicht ist es einfacher, sich zunächst zu überlegen, welche Matrix L [mm] $Le_i=f_i$ [/mm] erfüllen würde. Wie hängen L und M dann zusammen? Und dann schau noch einmal in Teil a)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:48 Fr 06.03.2015 | | Autor: | fred97 |
Da die Vektoren [mm] f_i [/mm] eine sehr "günstige" Gestalt haben, schlage ich folgendes Vorgehen zur Bestimmung von $N$ vor:
Die Spalten der gesuchten Matrix $N$ seien [mm] s_1, s_2 [/mm] und [mm] s_3.
[/mm]
Dann ist [mm] g_3=Nf_3=s_3, [/mm] also
[mm] s_3 [/mm] = [mm] g_3.
[/mm]
Weiter ist [mm] g_2=Nf_2= s_2+s_3, [/mm] also haben wir
[mm] s_2=g_2-g_3.
[/mm]
Wegen [mm] g_1=Nf_1=s_1+s_2 [/mm] ist
[mm] s_1=g_1-s_2=g_1-g_2+g_3.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Fr 06.03.2015 | | Autor: | MacMath |
Hi,
hast du gesehen, dass im Hinblick auf Aufgabe A) eine einfache Matritzenmultiplikation reicht?
LG
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