Abbildungsmatrix aufstellen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Di 15.01.2013 | | Autor: | Benja91 |
Guten Abend,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Es geht darum, dass ich eine Basis erstellen sollte, mit der man alle 2x2 Matrixen erreicht, bei denen Spur(A)=0. Diese Menge nennen wir dann sI Dabei bin ich auf folgende Lösung gekommen (steht auch in der Musterlösung).
B={ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] }
Nun soll ich die Matrix für die lineare Abbildung
f:sI --> sI: A-->AP-PA , mit P [mm] =\pmat{ 3 & -2 \\ 1 & 2 }
[/mm]
Nun soll ich die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis B aufstellen. Dazu müsste ich ja die Bilder der Basisvektoren berechnen. Dann bekommt man doch aber immer 2x2 Matrixen, oder? Deshalb komme ich auch nicht auf die Lösung. Dort steht nämlich:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -4 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 }
[/mm]
Es wäre klasse, wenn mir jemand erklären könnte wie man darauf kommt. Vielen Dank und noch einen schönen Abend :)
Gruß
Benja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Di 15.01.2013 | | Autor: | phychem |
Hallo
Dass die Bilder dieser Basisvektoren (2x2-Matrizen) unter dem Endomorphismus f wieder 2x2-Matrizen sind, stimmt schon, aber die Abbildungsmatrix von f bezüglich der Basis B muss eine 3x3 Matrix sein.
Vielleicht solltest du dir den Begriff der Abbildungsmatrix nochmals etwas genauer anschauen:
Die i-te Spalte gibt quasi das Bild des i-ten Mitglieds von B an. Und zwar wie folgt:
Ist [mm] b_{i} [/mm] das i-te Mitglied von B und [mm] M=(m_{i,j}) [/mm] die Abbildungsmatrix von f bzgl. der Basis B, dann gilt:
[mm] f(b_{i}) [/mm] = [mm] m_{1,i}b_{1}+m_{2,i}b_{2}+m_{3,i}b_{3}
[/mm]
Die Einträge in der i-ten Spalten von M entsprechen also den Koeffizienten in der Darstellung von [mm] f(b_{i}) [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren [mm] b_{1}, b_{2} [/mm] und [mm] b_{3}.
[/mm]
Die Bilder der einzelnen Basisvektoren unter f zu berechnen, reicht also noch nicht aus. Du musst noch bestimmen, wie sich diese als Linearkombination der Mitglieder von B schreiben lassen. Mit den Koeffizienten erhälst du dann gerade die Einträgen der gesuchten Abbildungsmatrix.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:48 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Benja91 |
Vielen Dank für die Erklärung. Stimmt, das habe ich vollkommen vergessen. Sonst arbeiten wir nämlich meistens mit der kanonischen Basis...
Gruß
Benja
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