Abbildungsmatrix, Faktorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Sa 11.04.2015 | | Autor: | duduknow |
| Aufgabe | Es seien $V$ ein Vektorraum, $U$ ein Untervektorraum von $V$ und [mm] $\rho$ [/mm] ein Endomorphismus von $V$ mit [mm] $\rho(U) \subset [/mm] U$.
(a) Zeigen Sie, dass durch [mm] $$\overline{p}:V/_U \rightarrow [/mm] V/_U, [x] = x + U [mm] \mapsto [\rho(x)] [/mm] = [mm] \rho(x) [/mm] + U$$ eine lineare Abbildung definiert wird.
(b) Weiter sei [mm] $(v_1, \dots, v_k)$ [/mm] eine geordnete Basis von $U$, die durch [mm] $v_{k + 1}, \dots, v_n$ [/mm] zu einer Basis [mm] $\mathcc{B} [/mm] = [mm] (v_1, \dots, v_n)$ [/mm] von $V$ ergänzt werde. Die Abbildungsmatrix von [mm] $\rho$ [/mm] bezüglich $B$ sei $A = [mm] (a_{ij})_{i,j = 1, \dots, n}$. [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $(v_{k + 1} [/mm] + U, [mm] \dots, v_n [/mm] + U)$ eine Basis von $V/_U$ ist, bezüglich derer [mm] $\overline{\rho}$ [/mm] die Abbildungsmatrix [mm] $(a_{ij})_{i,j = k+1, \dots, n}$ [/mm] hat. |
Hi,
zu dieser Aufgabe ist Folgendes mein Ansatz. Ich verwende aber gar nirgends, dass [mm] $\rho$ [/mm] invariant unter $U$ ist. Wo wird das falsch?
Es ist [mm] $\overline{\rho}$ [/mm] eine lineare Abbildung, denn
[mm] $$\overline{\rho}([x] [/mm] + [mm] \lambda [/mm] [y]) = [mm] \overline{\rho}([x [/mm] + [mm] \lambda [/mm] y]) = [mm] [\rho(x [/mm] + [mm] \lambda [/mm] y)] = [mm] [\rho(x) [/mm] + [mm] \lambda \rho(y)] [/mm] = [mm] [\rho(x)] [/mm] + [mm] \lambda [\rho(y)] [/mm] = [mm] \overline{\rho}([x]) [/mm] + [mm] \lambda \overline{\rho}([y])\text{.}$$
[/mm]
Für $k + 1 [mm] \le [/mm] s [mm] \le [/mm] n$ gilt
[mm] $$\overline{\rho}([v_s]) [/mm] = [mm] [\rho(v_s)] [/mm] = [mm] [\sum^n_{i = 1} a_{i,s} v_i] [/mm] = [mm] \underbrace{[\sum^k_{i = 1} a_{i,s} v_i]}_{= [0]\text{ , da } \in U} [/mm] + [mm] [\sum^n_{i = k + 1} a_{i,s} v_i] [/mm] = [mm] [\sum^n_{i = k + 1} a_{i,s} v_i] [/mm] = [mm] \sum^n_{i = k + 1} a_{i,s} [v_i]\text{.}$$
[/mm]
Also bilden die [mm] $a_{i,s}$ [/mm] die $s - k - 1$-te Spalte von [mm] $\mathcc{M}_\mathcc{C}^\mathcc{C}(\overline{\rho})$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 So 12.04.2015 | | Autor: | hippias |
Die Voraussetzung geht auch in ganz subtiler Weise in das Problem ein: Du hast gezeigt, wenn [mm] $\overline{\rho}$ [/mm] eine Funktion ist, dann ist sie linear. Aber ist [mm] $\overline{\rho}$ [/mm] ueberhaupt eine Funktion?
Was Du noch ueberpruefen ist die sogenannte Wohldefiniertheit. Ich moechte es so erlaeutern: Bisher haben wir eine Relation definiert [mm] $\overline{\rho}= \{(X,Y)\in (V/U)^{2}|\exists x\in X\: Y= x\rho+U\}$. [/mm] Damit eine Funktion vorliegt, muss diese Relation folgende Eigenschaft erfuellen: fuer beliebige $(X,Y), [mm] (X,Y')\in \overline{\rho}$ [/mm] folgt, dass $Y= Y'$ ist.
Dies bedeutet, dass es zu einem Argument genau einen Funktionswert gibt. Und fuer den Nachweis dieser Eigenschaft wirst Du die Invarianz benoetigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 So 12.04.2015 | | Autor: | duduknow |
Ah, danke!
Also so: Sei $[x], [y] [mm] \in [/mm] V/_U$ mit $[x] = [y]$, d.h. es gibt ein $u [mm] \in [/mm] U$ mit $x = y + u$.
Dann gilt [mm] $\overline{\rho}([x]) [/mm] = [mm] [\rho(y [/mm] + u)] = [mm] [\rho(y) [/mm] + [mm] \rho(u)] [/mm] = [mm] [\rho(y)] [/mm] + [mm] [\rho(u)] [/mm] = [mm] \overline{\rho}([y])$, [/mm] und für [mm] $[\rho(u)] [/mm] = [0]$ brauch ich die Invarianz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 So 12.04.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo duduknow!
> Ah, danke!
>
> Also so: Sei [mm][x], [y] \in V/_U[/mm] mit [mm][x] = [y][/mm], d.h. es gibt
> ein [mm]u \in U[/mm] mit [mm]x = y + u[/mm].
>
> Dann gilt [mm]\overline{\rho}([x]) = [\rho(y + u)] = [\rho(y) + \rho(u)] = [\rho(y)] + [\rho(u)] = \overline{\rho}([y])[/mm],
> und für [mm][\rho(u)] = [0][/mm] brauch ich die Invarianz.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
(Ich finde es etwas unglücklich, schon [mm] $\overline{\rho}([x])$ [/mm] zu schreiben, solange noch nicht klar ist, dass [mm] $\overline{\rho}$ [/mm] überhaupt wohldefiniert ist, auch wenn viele Mathematiker Wohldefiniertheits-Beweise so notieren.
Um dieses Problem zu vermeiden, schreibe [mm] $[\rho(x)]$ [/mm] anstelle von [mm] $\overline{\rho}([x])$.
[/mm]
Analog mit y statt x.)
Viele Grüße
Tobias
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