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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Sa 14.12.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Seien sin(x): [mm] \IR \to \IR [/mm] und cos(x): [mm] \IR \to \IR [/mm] die standart trigonometrische Funktionen und sei [mm] V=Span_{\IR}(sin(x),cos(x)) \subset Abb(\IR,\IR) [/mm] der Untervektorraum aufgespannt durch sin(x) und cos(x).
a) Zeigen Sie, dass A=(sin(x),cos(x)) eine Basis für V ist
b) Zeigen Sie, dass die Zuordnung f [mm] \to [/mm] f' eine wohl-definierte Abbildung D: [mm] V\to [/mm] V liefert und, dass D eine [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildung ist
c) Sei A die Basis (sin(x),cos(x)) von V. Schreiben Sie die Matrix [mm] M_{A}^A(D) [/mm] der [mm] \IR-linearen [/mm] Abbildung ist |
Also zu
a) Da hab ich einfach angenommen, sin(x) und cos(x) wären linear abhängig dann wäre aber
sin(x) = a*cos(x) mit [mm] a\in \IR
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] tan(x) = a, also müsste tan(x) konstant sein. Das ist aber nicht der Fall also müssen die Linear Unabhängig sein
b) Verstehe ich leider nicht :/ Ich weiss nicht was eine wohl-definierte Abbildung ist und in der Vorlesung hatten wir das nicht. Wikipedia brachte acuh nicht unbedingt eine Erleuchtung. Ich dachte erst das wäre sowas ähnliches wie Injektivität, dann aber wieder doch nicht
c) Hier bekomme ich folgende Matrix
[mm] M_{A}^A(D)= \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Ich hab das ganze über linearkombination versucht.
Also
[mm] f\vektor{sin(x) \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{cos(x) \\ 0} [/mm] = 0*sin(x) + 1*cos(x).
Das hab ich dann eben als erste Spalte.
Anlog das ganze für die zweite Spalte.
Aber irgendwie kann das doch nicht stimmen oder ?
A*x=y müsste ja gelten, aber wenn ich
[mm] A*(\vektor{sin(x) \\ cos(x)} [/mm] = [mm] \vektor{-cos(x) \\ sin(x)} [/mm] erhalte, müsste das doch falsch sein oder nicht ?
Kann mir jemand weiterhelfen ?
Mfg. Der Joker
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Hallo Joker08
> Seien sin(x): [mm]\IR \to \IR[/mm] und cos(x): [mm]\IR \to \IR[/mm] die
> standard trigonometrischen Funktionen und sei
> [mm]V=Span_{\IR}(sin(x),cos(x)) \subset Abb(\IR,\IR)[/mm] der
> Untervektorraum aufgespannt durch sin(x) und cos(x).
>
> a) Zeigen Sie, dass A=(sin(x),cos(x)) eine Basis für V ist.
>
> b) Zeigen Sie, dass die Zuordnung f [mm]\to[/mm] f' eine
> wohl-definierte Abbildung D: [mm]V\to[/mm] V liefert und, dass D
> eine [mm]\IR-lineare[/mm] Abbildung ist.
>
> c) Sei A die Basis (sin(x),cos(x)) von V. Schreiben Sie die
> Matrix [mm]M_{A}^A(D)[/mm] der [mm]\IR-linearen[/mm] Abbildung ist.
> Also zu
>
> a) Da hab ich einfach angenommen, sin(x) und cos(x) wären
> linear abhängig dann wäre aber
>
> sin(x) = a*cos(x) mit [mm]a\in \IR[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] tan(x) = a, also müsste tan(x) konstant sein. Das ist
> aber nicht der Fall also müssen die Linear Unabhängig
> sein
Da sin und cos definitionsgemäß den Unterraum V aufspannen
("erzeugen"), bilden sie ein Erzeugendensystem. Um zu zeigen,
dass [mm] \{sin,cos\} [/mm] tatsächlich eine Basis von V ist, genügt es zu
zeigen, dass sin und cos linear unabhängig sind. Deine Über-
legung zeigt dies in Form eines Beweises durch Widerspruch.
Diese Überlegungen solltest du aber auch angeben !
> b) Verstehe ich leider nicht :/ Ich weiss nicht was eine
> wohl-definierte Abbildung ist und in der Vorlesung hatten
> wir das nicht. Wikipedia brachte auch nicht unbedingt eine
> Erleuchtung.
Nach meiner Ansicht kann man auf den schnörkelhaften
Ausdruck "wohldefiniert" auch ganz gut verzichten. Für
den mathematischen Abbildungs- bzw. Funktionsbegriff
gehört dies sowieso zur Definition.
> Ich dachte erst das wäre sowas ähnliches wie
> Injektivität, ....
Nein, es handelt sich schlicht und einfach um die
(Rechts-) Eindeutigkeit der Funktion.
Zeigen solltest du unter (b) noch, dass die auf V definierte
Abbildung D [mm] \IR [/mm] - linear ist.
> c) Hier bekomme ich folgende Matrix
>
> [mm]M_{A}^A(D)= \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich hab das ganze über linearkombination versucht.
>
> Also
>
> [mm]f\vektor{sin(x) \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{cos(x) \\ 0}[/mm] = 0*sin(x) +
> 1*cos(x).
>
> Das hab ich dann eben als erste Spalte.
>
> Anlog das ganze für die zweite Spalte.
>
>
> Aber irgendwie kann das doch nicht stimmen oder ?
>
> A*x=y müsste ja gelten, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was bezeichnest du hier jetzt mit x und y , und was mit A ?
(beachte, dass x schon benützt wird)
>aber wenn ich
>
> [mm]A*(\vektor{sin(x) \\ cos(x)}[/mm] = [mm]\vektor{-cos(x) \\ sin(x)}[/mm]
> erhalte, müsste das doch falsch sein oder nicht ?
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 15.12.2013 | | Autor: | Joker08 |
> > Also zu
> >
> > a) Da hab ich einfach angenommen, sin(x) und cos(x) wären
> > linear abhängig dann wäre aber
> >
> > sin(x) = a*cos(x) mit [mm]a\in \IR[/mm]
> >
> > [mm]\gdw[/mm] tan(x) = a, also müsste tan(x) konstant sein. Das ist
> > aber nicht der Fall also müssen die Linear Unabhängig
> > sein
>
> Da sin und cos definitionsgemäß den Unterraum V
> aufspannen
> ("erzeugen"), bilden sie ein Erzeugendensystem. Um zu
> zeigen,
> dass [mm]\{sin,cos\}[/mm] tatsächlich eine Basis von V ist,
> genügt es zu
> zeigen, dass sin und cos linear unabhängig sind. Deine
> Über-
> legung zeigt dies in Form eines Beweises durch
> Widerspruch.
> Diese Überlegungen solltest du aber auch angeben !
Okay vielen dank, ja das werde ich selbstverständlich tun :)
>
> > b) Verstehe ich leider nicht :/ Ich weiss nicht was eine
> > wohl-definierte Abbildung ist und in der Vorlesung hatten
> > wir das nicht. Wikipedia brachte auch nicht unbedingt eine
> > Erleuchtung.
>
> Nach meiner Ansicht kann man auf den schnörkelhaften
> Ausdruck "wohldefiniert" auch ganz gut verzichten. Für
> den mathematischen Abbildungs- bzw. Funktionsbegriff
> gehört dies sowieso zur Definition.
>
> > Ich dachte erst das wäre sowas ähnliches wie
> > Injektivität, ....
>
> Nein, es handelt sich schlicht und einfach um die
> (Rechts-) Eindeutigkeit der Funktion.
Aso okay, eigentlich ist ja jede Funktion (Rechts-) Eindeutig, sonst ist es halt keine Funktion mehr. Dann muss ich das also nicht wirklich zeigen ?
> Zeigen solltest du unter (b) noch, dass die auf V
> definierte
> Abbildung D [mm]\IR[/mm] - linear ist.
Okay, also für eine Lineare Abbildung f:V [mm] \to [/mm] W muss gelten:
[mm] f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)
[/mm]
und
[mm] f(\lambda [/mm] * v)= [mm] \lambda [/mm] f(v)
Wir haben nun eine Abbildung D: V [mm] \to [/mm] V, wobei [mm] V=Span_{\IR}(sin(x),cos(x))
[/mm]
und ich soll zeigen, dass mit der Zuordnung [mm] f\to [/mm] f´ D eine [mm] \IR-Lineare [/mm] Abbildung ist.
Also muss ich zeigen
[mm] D(v_1+v_2) [/mm] = [mm] D(v_1) [/mm] + [mm] D(v_2), [/mm] mit [mm] v_1,v_2 \in Span_{R}(sin(x),cos(x))
[/mm]
Also muss doch einfach nur gelten
D(sin(x)+cos(x))= D(sin(x)) + D(cos(x)), dass gilt aber denn
D(sin(x)+cos(x)) = (sin(x)+cos(x))' = cos(x) + (-sin(x)) = D(sin(x)) + D(cos(x))
und für
[mm] D(\lambda*f) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] D(f), würde ich mir einfach [mm] f\in Span_{IR}(sin(x),cos(x)) [/mm] beliebig wählen und sagen
[mm] D(\lambda*f) [/mm] = [mm] (\lambda*f)' [/mm] = [mm] \lambda*f' [/mm] = [mm] \lambda*D(f)
[/mm]
Also ist das ganze linear. Ich könnte alternativ vll. auch einfach [mm] f,g\in Span_{\R}(sin(x),cos(x)) [/mm] wählen und sagen
[mm] D(f+\lambda*g) [/mm] = D(f) + [mm] \lambda [/mm] D(g)
und das gilt weil
[mm] D(f+\lambda*g) [/mm] = [mm] (f+\lambda*g)' [/mm] = f' + [mm] (\lambda*g)' [/mm] = f' + [mm] \lambda*g' [/mm] = D(f)+ [mm] \lambda*D(g).
[/mm]
Das wäre jetzt beides ganz allgemein in einem Zusammen. Ich bin mir auch nicht 100% sicher, ob ich wie oben überhaupt sin(x) und cos(x) konkret rausgreifen darf, aber der Span enthält ja nur diese beiden Funktionen.
> > c) Hier bekomme ich folgende Matrix
> >
> > [mm]M_{A}^A(D)= \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> >
> > Ich hab das ganze über linearkombination versucht.
> >
> > Also
> >
> > [mm]f\vektor{sin(x) \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{cos(x) \\ 0}[/mm] = 0*sin(x) +
> > 1*cos(x).
> >
> > Das hab ich dann eben als erste Spalte.
> >
> > Anlog das ganze für die zweite Spalte.
> >
> >
> > Aber irgendwie kann das doch nicht stimmen oder ?
> >
> > A*x=y müsste ja gelten,
>
> Was bezeichnest du hier jetzt mit x und y , und was mit A
> ?
mit [mm] x:=\vektor{sin(x) \\ cos(x)}
[/mm]
Also ich hatte es so verstanden, dass meine Abbildungsmatrix mit den Basisvektoren Multipliziert, eben das Bild der Matrix geben soll.
Das wäre dann ja [mm] \vektor{cos(x) \\ -sin(x)}
[/mm]
>
> (beachte, dass x schon benützt wird)
>
>
> >aber wenn ich
> >
> > [mm]A*(\vektor{sin(x) \\ cos(x)}[/mm] = [mm]\vektor{-cos(x) \\ sin(x)}[/mm]
> > erhalte, müsste das doch falsch sein oder nicht ?
>
> LG , Al-Chw.
>
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> > Nach meiner Ansicht kann man auf den schnörkelhaften
> > Ausdruck "wohldefiniert" auch ganz gut verzichten.
> Für
> > den mathematischen Abbildungs- bzw. Funktionsbegriff
> > gehört dies sowieso zur Definition.
> >
> > > Ich dachte erst das wäre sowas ähnliches wie
> > > Injektivität, ....
> >
> > Nein, es handelt sich schlicht und einfach um die
> > (Rechts-) Eindeutigkeit der Funktion.
>
> Aso okay, eigentlich ist ja jede Funktion (Rechts-)
> Eindeutig, sonst ist es halt keine Funktion mehr. Dann muss
> ich das also nicht wirklich zeigen ?
Hallo,
darüber, ob der Begriff "wohldefiniert" notwendig, hilfreich oder verzichtbar ist, könnte man reden.
Nicht verhandelbar aber ist, daß man sich, wenn man eine Funktion definiert hat, wirklich davon überzeugen muß, daß es eine Funktion ist.
Wir haben es hier zu tun mit
[mm] D:V\to [/mm] V
D(f):=f'.
Die Rechtseindeutigkeit ist hier kein Problem,
aber über die Linkstotalität würde ich schon ein Wörtchen verlieren - zumal die Aufgabenstellung verlangt, sich über D Gedanken zu machen:
ich fände es hier durchaus erwähnenswert, daß jede Funktion aus V differenzierbar ist.
Wäre das nämlich nicht der Fall, dann wäre ja die "Funktion" D keine Funktion, sondern grober Unfug.
Ebenso ist es erwähnenswert, daß in der Tat für jedes [mm] f\in [/mm] V auch [mm] f'\in [/mm] V liegt.
>
> > Zeigen solltest du unter (b) noch, dass die auf V
> > definierte
> > Abbildung D [mm]\IR[/mm] - linear ist.
>
> Okay, also für eine Lineare Abbildung f:V [mm]\to[/mm] W muss
> gelten:
>
> [mm]f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)[/mm]
>
> und
>
> [mm]f(\lambda[/mm] * v)= [mm]\lambda[/mm] f(v)
>
>
> Wir haben nun eine Abbildung D: V [mm]\to[/mm] V, wobei
> [mm]V=Span_{\IR}(sin(x),cos(x))[/mm]
>
> und ich soll zeigen, dass mit der Zuordnung [mm]f\to[/mm] f´ D eine
> [mm]\IR-Lineare[/mm] Abbildung ist.
>
>
> Also muss ich zeigen
>
> [mm]D(v_1+v_2)[/mm] = [mm]D(v_1)[/mm] + [mm]D(v_2),[/mm] mit [mm]v_1,v_2 \in Span_{R}(sin(x),cos(x))[/mm]
>
> Also muss doch einfach nur gelten
>
> D(sin(x)+cos(x))= D(sin(x)) + D(cos(x)),
Nein, Du mußt das nicht nur für f=cos und g=sin zeigen, sondern für sämtliche f,g in [mm] Span_{\IR}(sin, [/mm] cos),
also für f:=a*sin + b*cos,
g:=c*sin+d*cos, [mm] a,b,c,d\in \IR.
[/mm]
> dass gilt aber
> denn
>
> D(sin(x)+cos(x)) = (sin(x)+cos(x))' = cos(x) + (-sin(x)) =
> D(sin(x)) + D(cos(x))
>
> und für
>
> [mm]D(\lambda*f)[/mm] = [mm]\lambda[/mm] D(f), würde ich mir einfach [mm]f\in Span_{IR}(sin(x),cos(x))[/mm]
> beliebig wählen und sagen
Nicht sagen, sondern eher vorrechnen,
>
> [mm]D(\lambda*f)[/mm] = [mm](\lambda*f)'[/mm] = [mm]\lambda*f'[/mm] = [mm]\lambda*D(f)[/mm]
>
>
> Also ist das ganze linear. Ich könnte alternativ vll. auch
> einfach [mm]f,g\in Span_{\R}(sin(x),cos(x))[/mm] wählen und sagen
>
> [mm]D(f+\lambda*g)[/mm] = D(f) + [mm]\lambda[/mm] D(g)
>
> und das gilt weil
lt. Analysis-Vorlesung
>
> [mm]D(f+\lambda*g)[/mm] = [mm](f+\lambda*g)'[/mm] = f' + [mm](\lambda*g)'[/mm] = f' +
> [mm]\lambda*g'[/mm] = D(f)+ [mm]\lambda*D(g).[/mm]
Ja, so könntest Du es tun.
> > > c) Hier bekomme ich folgende Matrix
> > >
> > > [mm]M_{A}^A(D)= \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> > >
> > > Ich hab das ganze über linearkombination versucht.
Die Abbildungsmatrix beschreibt die Abbildung in Koordinaten (!!!) bzgl. der Basis A.
Die Matrix [mm] M_A^A(D) [/mm] "frißt" doch überhaupt keine Funktionen.
Sie frißt lediglich Vektoren der [mm] \IR^2.
[/mm]
Um die Elemente von V für die Matrix verdaulich zu machen, mußt Du sie speziell zubereiten: als Koordinatenvektoren bzgl A.
Schauen wir uns das mal an.
Es sei f=2*sin+3*cos.
Als Koordinatenvektor bzgl A ist
[mm] f=\vektor{1\\3}_{(A)}.
[/mm]
Wir haben
[mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }*\vektor{1\\3}_{(A)}=\vektor{-3\\1}_{(A)}=-3sin+cos=D(f).
[/mm]
Paßt!
Ich hoffe, daß Du hieran verstehen konntest, was ein Koordinatenvektor ist.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Al,
> Nach meiner Ansicht kann man auf den schnörkelhaften
> Ausdruck "wohldefiniert" auch ganz gut verzichten. Für
> den mathematischen Abbildungs- bzw. Funktionsbegriff
> gehört dies sowieso zur Definition.
> Nein, es handelt sich schlicht und einfach um die
> (Rechts-) Eindeutigkeit der Funktion.
Ich denke du hast hier die Aufgabe falsch verstanden. "Wohldefiniert" bezieht sich hier auf die Abbildung als Abbildung von V nach V.
Es ist nämlich erstmal nicht klar, warum diese Elemente aus V wieder nach V abbilden sollte.
Und das ist zu zeigen.
Gruß,
Gono.
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Hallo Gono
> Hallo Al,
>
> > Nach meiner Ansicht kann man auf den schnörkelhaften
> > Ausdruck "wohldefiniert" auch ganz gut verzichten.
> > Für den mathematischen Abbildungs- bzw. Funktions-
> > begriff gehört dies sowieso zur Definition.
> > ... es handelt sich schlicht und einfach um die
> > (Rechts-) Eindeutigkeit der Funktion.
>
> Ich denke du hast hier die Aufgabe falsch verstanden.
> "Wohldefiniert" bezieht sich hier auf die Abbildung als
> Abbildung von V nach V.
> Es ist nämlich erstmal nicht klar, warum diese Elemente
> aus V wieder nach V abbilden sollte.
> Und das ist zu zeigen.
Der Ausdruck "wohldefiniert" ist aber auch kaum
geeignet, auf diesen Aspekt hinzuweisen !
Hilfreicher wäre wohl, ausdrücklich von einer
Abbildung "von V nach V" zu sprechen.
Da stand allerdings durchaus f: V [mm] \to [/mm] V
(und das habe ich auch gesehen)
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Al,
also meines Erachtens steht genau das da:
> Zeigen Sie, dass die Zuordnung f $ [mm] \to [/mm] $ f' eine wohl-definierte Abbildung D: $ [mm] V\to [/mm] $ V liefert
Heißt: Es ist zu zeigen, dass unabhängig von der Wahl des Elements [mm] $f\in [/mm] V$, die Abbildung $f [mm] \mapsto [/mm] f'$ "Sinn mach", d.h. für jedes f überhaupt definiert (und damit D wohldefiniert) ist.
Ebenso ist zu zeigen, dass D von V nach V abbildet.
Und worüber bist du da jetzt gestolpert?
Nachmittagsgruß,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Joker08 |
> Hallo Al,
>
> also meines Erachtens steht genau das da:
>
> > Zeigen Sie, dass die Zuordnung f [mm]\to[/mm] f' eine
> wohl-definierte Abbildung D: [mm]V\to[/mm] V liefert
>
> Heißt: Es ist zu zeigen, dass unabhängig von der Wahl des
> Elements [mm]f\in V[/mm], die Abbildung [mm]f \mapsto f'[/mm] "Sinn mach",
> d.h. für jedes f überhaupt definiert (und damit D
> wohldefiniert) ist.
> Ebenso ist zu zeigen, dass D von V nach V abbildet.
Okay wenn ich mir ein [mm] f\in [/mm] V beliebig wähle, dann hat f doch die Form
f:=a*sin(x)+b*cos(x), und da sin(x) bzw. cos(x) differenzierbare Funktionen sind macht ja die Zuordnung [mm] f\to [/mm] f' sinn.
Jetzt müsste ich also noch begründen warum [mm] f'\in [/mm] V.
Aber auch da gilt ja eigentlich, dass wegen der Beschränktheit von sin und cosinus, sowieso -1<=sin(x)<=1, entsprechend auch -1<=cos(x)<=1.
Also muss auch die Abbleitung wieder in V enthalten sein, wenn [mm] V=Span_{\IR}(sin(x),cos(x)) [/mm] ist.
Aber ist bis jetzt nur so eine Idee. Ist die Grundidee die richtige, bzw. hab ich das in etwa richtig verstanden ?
Gibt es einen weg das konkret zu zeigen ?
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Hallo,
> Okay wenn ich mir ein [mm]f\in[/mm] V beliebig wähle, dann hat f
> doch die Form
>
> f:=a*sin(x)+b*cos(x), und da sin(x) bzw. cos(x)
> differenzierbare Funktionen sind macht ja die Zuordnung
> [mm]f\to[/mm] f' sinn.
Jo
>
> Jetzt müsste ich also noch begründen warum [mm]f'\in[/mm] V.
> Aber auch da gilt ja eigentlich, dass wegen der
> Beschränktheit von sin und cosinus, sowieso -1<=sin(x)<=1,
> entsprechend auch -1<=cos(x)<=1.
Wozu das?
Es ist mit [mm] $f(x)=a\cdot{}\sin(x)+b\cdot{}\cos(x)$ [/mm] doch
[mm] $D(f(x))=a\cdot{}\cos(x)-b\cdot{}\sin(x)=(-b)\cdot{}\sin(x)+a\cdot{}\cos(x)$, [/mm] also $D(f(x))$ als LK von Sinus und Cosinus darstellbar ...
Ergo im Spann von Sinus und Cosinus
>
> Also muss auch die Abbleitung wieder in V enthalten sein,
> wenn [mm]V=Span_{\IR}(sin(x),cos(x))[/mm] ist.
>
>
> Aber ist bis jetzt nur so eine Idee. Ist die Grundidee die
> richtige, bzw. hab ich das in etwa richtig verstanden ?
>
> Gibt es einen weg das konkret zu zeigen ?
Einfach differenzieren, siehe oben ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Joker08 |
> Hallo,
>
>
> > Okay wenn ich mir ein [mm]f\in[/mm] V beliebig wähle, dann hat f
> > doch die Form
> >
> > f:=a*sin(x)+b*cos(x), und da sin(x) bzw. cos(x)
> > differenzierbare Funktionen sind macht ja die Zuordnung
> > [mm]f\to[/mm] f' sinn.
>
> Jo
>
> >
> > Jetzt müsste ich also noch begründen warum [mm]f'\in[/mm] V.
> > Aber auch da gilt ja eigentlich, dass wegen der
> > Beschränktheit von sin und cosinus, sowieso
> -1<=sin(x)<=1,
> > entsprechend auch -1<=cos(x)<=1.
>
> Wozu das?
>
> Es ist mit [mm]f(x)=a\cdot{}\sin(x)+b\cdot{}\cos(x)[/mm] doch
>
> [mm]D(f(x))=a\cdot{}\cos(x)-b\cdot{}\sin(x)=(-b)\cdot{}\sin(x)+a\cdot{}\cos(x)[/mm],
> also [mm]D(f(x))[/mm] als LK von Sinus und Cosinus darstellbar ...
>
> Ergo im Spann von Sinus und Cosinus
>
> >
> > Also muss auch die Abbleitung wieder in V enthalten
> sein,
> > wenn [mm]V=Span_{\IR}(sin(x),cos(x))[/mm] ist.
> >
> >
> > Aber ist bis jetzt nur so eine Idee. Ist die Grundidee
> die
> > richtige, bzw. hab ich das in etwa richtig verstanden ?
> >
> > Gibt es einen weg das konkret zu zeigen ?
>
> Einfach differenzieren, siehe oben ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Ah vielen, vielen dank schauzipus :)
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