Abbildungsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:29 Mo 11.06.2012 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | | Seien $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und [mm] $T:V\to [/mm] V$ eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass für alle [mm] $f\in [/mm] K[x]$ und alle Basen [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] von $V$ [mm] $$[f(T)]_\mathcal{B}=f([T]_\mathcal{B})$$ [/mm] gilt. |
Guten Abend allerseits,
ich verzweifle hier an dieser Aufgabe.
Habe keine Ahnung wie Anfangen und würde mich über eure Hilfe unglaublich freuen.
Liebe Grüße
DerBaum
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> Seien [mm]K[/mm] ein Körper, [mm]V[/mm] ein endlichdimensionaler
> K-Vektorraum und [mm]T:V\to[/mm] V[/mm] eine lineare Abbildung. Zeigen
> Sie, dass für alle [mm]f\in[/mm] K[x][/mm] und alle Basen
> [mm]\mathcal{B}[/mm][/mm] von [mm]V[/mm] [mm][f(T)]_\mathcal{B}=f([T]_\mathcal{B})[/mm]
> gilt.
> Guten Abend allerseits,
> ich verzweifle hier an dieser Aufgabe.
> Habe keine Ahnung wie Anfangen und würde mich über eure
> Hilfe unglaublich freuen.
>
> Liebe Grüße
> DerBaum
Hallo,
mir ist nicht klar, an welcher Stelle Dein Problem liegt.
Fangen wir also einfach mal damit an, daß wir uns an einem Beispiel klarmachen, was hier zu zeigen ist:
es sei etwa
[mm] V:=\IR^2,
[/mm]
[mm] $\mathcal{B}$:=(\vektor{1\\1}, \vektor{3\\0}),
[/mm]
[mm] T:\IR^2\to \IR^2
[/mm]
[mm] T(\vektor{x\\y}):=\vektor{x+3y\\2x+4y},
[/mm]
[mm] f\in \IR[x] [/mm] mit [mm] f(x):=2x^3+x+1.
[/mm]
Nun prüfe doch erstmal, ob die oben behauptete Gleichheit stimmt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mo 11.06.2012 | | Autor: | DerBaum |
> > Seien [mm]K[/mm] ein Körper, [mm]V[/mm] ein endlichdimensionaler
> > K-Vektorraum und [mm]T:V\to[/mm] V[/mm] eine lineare Abbildung. Zeigen
> > Sie, dass für alle [mm]f\in[/mm] K[x][/mm] und alle Basen
> > [mm]\mathcal{B}[/mm][/mm] von [mm]V[/mm] [mm][f(T)]_\mathcal{B}=f([T]_\mathcal{B})[/mm]
> > gilt.
> > Guten Abend allerseits,
> > ich verzweifle hier an dieser Aufgabe.
> > Habe keine Ahnung wie Anfangen und würde mich über
> eure
> > Hilfe unglaublich freuen.
> >
> > Liebe Grüße
> > DerBaum
>
> Hallo,
>
> mir ist nicht klar, an welcher Stelle Dein Problem liegt.
>
> Fangen wir also einfach mal damit an, daß wir uns an einem
> Beispiel klarmachen, was hier zu zeigen ist:
>
> es sei etwa
> [mm]V:=\IR^2,[/mm]
> [mm]\mathcal{B}[/mm][mm] :=(\vektor{1\\1}, \vektor{3\\0}),[/mm]
>
> [mm]T:\IR^2\to \IR^2[/mm]
> [mm]T(\vektor{x\\y}):=\vektor{x+3y\\2x+4y},[/mm]
>
> [mm]f\in \IR[x][/mm] mit [mm]f(x):=2x^3+x+1.[/mm]
>
> Nun prüfe doch erstmal, ob die oben behauptete Gleichheit
> stimmt.
>
Okay, also ich habe das mal mit dem von dir genannten Beispiel durchgerechnet:
Es ergibt sich:
[mm] $f(T\vektor{x\\y})=\vektor{2(x+3y)^3+x+3y+1\\2(2x+4y)^3+2x+4y+1}$
[/mm]
Somit für
[mm] $f(T\vektor{1\\1})=\vektor{133\\439}$
[/mm]
[mm] $f(T\vektor{3\\0})=\vektor{58\\439}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [f(T)]_\mathcal{B}=\pmat{133&58\\439&439}$
[/mm]
Desweiteren:
[mm] $T\vektor{1\\1}=\vektor{4\\6}$
[/mm]
[mm] $T\vektor{3\\0}=\vektor{3\\6}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [T]_\mathcal{B}=\pmat{4&3\\6&6}$
[/mm]
[mm] f(\pmat{4&3\\6&6})=\pmat{133&58\\439&439}$
[/mm]
Somit gilt die gleichheit für dieses Beispiel.
Aber wie kann ich das allgemein zeigen?
Vielen Dank für die Antwort
lG
DerBaum
> LG Angela
>
>
>
>
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:01 Mo 11.06.2012 | | Autor: | DerBaum |
> [mm]f(\pmat{4&3\\6&6})=\pmat{133&58\\439&439}$[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Somit gilt die gleichheit für dieses Beispiel.
> Aber wie kann ich das allgemein zeigen?
Kann man das evtl so zeigen?
Sei $\mathcal{B}=\{b_1,...,b_n\}$ mit $b_j=\vektor{b_1^j\\ \vdots \\ b_n^j }$ $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ mit $\vektor{x_1\\ \vdots \\ x_n} \mapsto \vektor{x_1' \\ \vdots \\ x_n'}$ $f(x)=\sum_{i=0}^n{a_i*x^i}$
Somit:
$f(T(b_j))=f(\vektor{b_1^j'\\ \vdots \\ b_n^j'})=\vektor{\sum_{i=0}^n{a_i*(b_1^j')^i\\ \vdots \\ \sum_{i=0}^n{a_i*(b_n^j')^i}}$
$\Rightarrow [f(T)]_\mathcal{B}=\pmat{\sum_{i=0}^n{a_i*(b_1^1')^i} & \cdots & \sum_{i=0}^n{a_i*(b_1^n')^i} \\ \vdots & & \vdots \\ \sum_{i=0}^n{a_i*(b_n^1')^i} & \cdots & \sum_{i=0}^n{a_i*(b_n^n')^i}$
Außerdem:
$T(b_j)=T(\vektor{b_1^j\\ \vdots \\ b_n^j})=\vektor{b_1^j'\\ \vdots \\ b_n^j'}$
$\Rightarrow [T]_\mathcal{B}=\pmat{b_1^1'&\cdots & b_1^n'\\ \vdots & & \vdots \\ b_n^1' & \cdots & b_n^n'}$
Somit:
$f([T]_\mathcal{B})=f(\pmat{b_1^1'&\cdots & b_1^n'\\ \vdots & & \vdots \\ b_n^1' & \cdots & b_n^n'})=\pmat{\sum_{i=0}^n{a_i*(b_1^1')^i} & \cdots & \sum_{i=0}^n{a_i*(b_1^n')^i} \\ \vdots & & \vdots \\ \sum_{i=0}^n{a_i*(b_n^1')^i} & \cdots & \sum_{i=0}^n{a_i*(b_n^n')^i}}=[f(T)]_\mathcal{B}$
Somit wäre das bewiesen.
Passt der Beweis so?
Vielen Dank
DerBaum
> Vielen Dank für die Antwort
> lG
> DerBaum
> > LG Angela
> >
> >
> >
> >
> >
>
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> > [mm]f(\pmat{4&3\\
6&6})=\pmat{133&58\\
439&439}$[/mm]
> > Somit gilt die gleichheit für dieses Beispiel.
> > Aber wie kann ich das allgemein zeigen?
Hallo,
ich find's gut, daß Du Dich im Laufe des Tages an einem allgemeinen Beweis versucht hast.
Das konnte natürlich nicht klappen, da Du natürlich im allgemeinen Fall in die gleichen Fallen tappst wie in dem zuvor besprochenen Beispiel, mit welchem Du dich nochmals intensiv auseinandersetzen solltest.
Meinetwegen kannst Du auch rechnerisch einfachere Abbildungen f und T verwenden, es geht ja nicht darum, Deine Rechenkünste zu prüfen.
LG Angela
>
> Kann man das evtl so zeigen?
> Sei [mm]\mathcal{B}=\{b_1,...,b_n\}[/mm] mit [mm]b_j=\vektor{b_1^j\\
\vdots \\
b_n^j }[/mm]
> [mm]T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n[/mm] mit [mm]\vektor{x_1\\
\vdots \\
x_n} \mapsto \vektor{x_1' \\
\vdots \\
x_n'}[/mm]
> [mm]f(x)=\sum_{i=0}^n{a_i*x^i}[/mm]
>
> Somit:
> [mm]f(T(b_j))=f(\vektor{b_1^j'\\
\vdots \\
b_n^j'})=\vektor{\sum_{i=0}^n{a_i*(b_1^j')^i\\
\vdots \\
\sum_{i=0}^n{a_i*(b_n^j')^i}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow [f(T)]_\mathcal{B}=\pmat{\sum_{i=0}^n{a_i*(b_1^1')^i} & \cdots & \sum_{i=0}^n{a_i*(b_1^n')^i} \\
\vdots & & \vdots \\
\sum_{i=0}^n{a_i*(b_n^1')^i} & \cdots & \sum_{i=0}^n{a_i*(b_n^n')^i}[/mm]
>
> Außerdem:
> [mm]T(b_j)=T(\vektor{b_1^j\\
\vdots \\
b_n^j})=\vektor{b_1^j'\\
\vdots \\
b_n^j'}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow [T]_\mathcal{B}=\pmat{b_1^1'&\cdots & b_1^n'\\
\vdots & & \vdots \\
b_n^1' & \cdots & b_n^n'}[/mm]
>
> Somit:
> [mm]f([T]_\mathcal{B})=f(\pmat{b_1^1'&\cdots & b_1^n'\\
\vdots & & \vdots \\
b_n^1' & \cdots & b_n^n'})=\pmat{\sum_{i=0}^n{a_i*(b_1^1')^i} & \cdots & \sum_{i=0}^n{a_i*(b_1^n')^i} \\
\vdots & & \vdots \\
\sum_{i=0}^n{a_i*(b_n^1')^i} & \cdots & \sum_{i=0}^n{a_i*(b_n^n')^i}}=[f(T)]_\mathcal{B}[/mm]
>
> Somit wäre das bewiesen.
> Passt der Beweis so?
>
> Vielen Dank
> DerBaum
>
> > Vielen Dank für die Antwort
> > lG
> > DerBaum
> > > LG Angela
> > >
> > >
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> > > Seien [mm]K[/mm] ein Körper, [mm]V[/mm] ein endlichdimensionaler
> > > K-Vektorraum und [mm]T:V\to[/mm] V[/mm] eine lineare Abbildung. Zeigen
> > > Sie, dass für alle [mm]f\in[/mm] K[x][/mm] und alle Basen
> > > [mm]\mathcal{B}[/mm][/mm] von [mm]V[/mm] [mm][f(T)]_\mathcal{B}=f([T]_\mathcal{B})[/mm]
> > > gilt.
> > > Guten Abend allerseits,
> > > ich verzweifle hier an dieser Aufgabe.
> > > Habe keine Ahnung wie Anfangen und würde mich über
> > eure
> > > Hilfe unglaublich freuen.
> > >
> > > Liebe Grüße
> > > DerBaum
> >
> > Hallo,
> >
> > mir ist nicht klar, an welcher Stelle Dein Problem liegt.
> >
> > Fangen wir also einfach mal damit an, daß wir uns an einem
> > Beispiel klarmachen, was hier zu zeigen ist:
> >
> > es sei etwa
> > [mm]V:=\IR^2,[/mm]
> > [mm]\mathcal{B}[/mm][mm] :=(\vektor{1\\
1}, \vektor{3\\
0}),[/mm]
> >
> > [mm]T:\IR^2\to \IR^2[/mm]
> >
> [mm]T(\vektor{x\\
y}):=\vektor{x+3y\\
2x+4y},[/mm]
> >
> > [mm]f\in \IR[x][/mm] mit [mm]f(x):=2x^3+x+1.[/mm]
> >
> > Nun prüfe doch erstmal, ob die oben behauptete Gleichheit
> > stimmt.
> >
>
> Okay, also ich habe das mal mit dem von dir genannten
> Beispiel durchgerechnet:
Hallo,
dabei ist leider einiges schiefgegangen.
> Es ergibt sich:
>
> [mm]f(T\vektor{x\\
y})=\vektor{2(x+3y)^3+x+3y+1\\
2(2x+4y)^3+2x+4y+1}[/mm]
Moment!
Was ist denn f(T)? f(T)=...
Nun überlege mal, wie [mm] T^3 [/mm] definiert ist: [mm] T^3=...
[/mm]
Also ist [mm] T^3(\vektor{x\\y})= [/mm] ...,
und insgesamt hat man [mm] (f(T))\vektor{x\\y}=...
[/mm]
Wenn Du das hast, kannst Du die Darstellungsmatrix dieser Abbildung bzgl [mm] \mathcal{B} [/mm] aufstellen, dazu unten mehr.
[mm] f(T(\vektor{x\\y})) [/mm] gibt es überhaupt nicht!
Überleg' doch mal: [mm] T(\vektor{x\\y}) [/mm] ist ein Spaltenvektor. Was sollte denn ein "Spaltenvektor hoch 3" sein? Das ist doch gar nicht definiert.
> Somit für
> [mm]f(T\vektor{1\\
1})=\vektor{133\\
439}[/mm]
> [mm]f(T\vektor{3\\
0})=\vektor{58\\
439}[/mm]
s.o.
Aber mal angenommen, es wäre richtig:
> [mm]\Rightarrow [f(T)]_\mathcal{B}=\pmat{133&58\\
439&439}[/mm]
Nein, das wäre nicht die Darstellungsmatrix bzgl [mm] \mathcal{B}, [/mm] sondern die Matrix, die die lineare Abbildung f(T) bzgl der Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] im Startraum und bzgl. der Standardbasis im Zielraum darstellt.
In den Spalten der Matrix [mm] [f(T)]_\mathcal{B} [/mm] stehen die Bilder der Basisvektoren von [mm] \mathcal{B} [/mm] in Koordinaten bzgl der Basis [mm] \mathcal{B}, [/mm] nicht bzgl der Standardbasis!
>
> Desweiteren:
> [mm]T\vektor{1\\
1}=\vektor{4\\
6}[/mm]
> [mm]T\vektor{3\\
0}=\vektor{3\\
6}[/mm]
Ja.
> [mm]\Rightarrow [T]_\mathcal{B}=\pmat{4&3\\
6&6}[/mm]
Auch hier: in den Spalten von [mm] [T]_\mathcal{B} [/mm] stehen die Bilder der Basisvektoren von [mm] \mathcal{B} [/mm] in Koordinaten bzgl der Basis [mm] \mathcal{B}, [/mm] nicht bzgl der Standardbasis!
Ich hoffe, daß Du erkennst, daß Du zuvor einiges nicht richtig verstanden hattest.
LG Angela
>
> [mm]f(\pmat{4&3\\
6&6})=\pmat{133&58\\
439&439}$[/mm]
> Somit gilt die gleichheit für dieses Beispiel.
> Aber wie kann ich das allgemein zeigen?
>
> Vielen Dank für die Antwort
> lG
> DerBaum
> > LG Angela
> >
> >
> >
> >
> >
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:32 Mo 11.06.2012 | | Autor: | DerBaum |
> Hallo,
>
> dabei ist leider einiges schiefgegangen.
>
> > Es ergibt sich:
> >
> > [mm]f(T\vektor{x\\
y})=\vektor{2(x+3y)^3+x+3y+1\\
2(2x+4y)^3+2x+4y+1}[/mm]
>
> Moment!
>
> Was ist denn f(T)? f(T)=...
>
Natürlich... blöder Denkfehler...
[mm] $f(T)=\sum_{i=0}^n{a_iT^i}$
[/mm]
> Nun überlege mal, wie [mm]T^3[/mm] definiert ist: [mm]T^3=...[/mm]
Und [mm] $T^2=T(T)$ [/mm] also [mm] $T^3=T(T(T))$
[/mm]
>
> Also ist [mm]T^3(\vektor{x\\y})=[/mm] ...,
Somit:
[mm] $T^3(\vektor{x\\y})=T(T(T(\vektor{x\\y})))T(T(\vektor{x+3y\\2x+4y}))=T(\vektor{7x+7y\\10x+22y})=\vektor{37x+73y\\54x+102y}$
[/mm]
>
> und insgesamt hat man [mm](f(T))\vektor{x\\y}=...[/mm]
[mm] $(f(T))\vektor{x\\y}=2T^3(\vektor{x\\y})+T(\vektor{x\\y})+1T^0(\vektor{x\\y})$
[/mm]
[mm] $=2*\vektor{37x+73y\\54x+102y}+\vektor{x+3y\\2x+4y}+1T^0(\vektor{x\\y})$
[/mm]
[mm] $=\vektor{74x+146y\\108x+204y}+\vektor{x+3y\\2x+4y}+\vektor{1\\1}$
[/mm]
[mm] $=\vektor{74x+149y+1\\ 110x+208y+1}$
[/mm]
>
> Wenn Du das hast, kannst Du die Darstellungsmatrix dieser
> Abbildung bzgl [mm]\mathcal{B}[/mm] aufstellen, dazu unten mehr.
Natürlich... lauter Leichtsinnsfehler und Denkfehler.
Natürlich berechnet man die Darstellungsmatrix wie folgt:
[mm] $f(T)\vektor{1\\1}=\vektor{-74\\319}=319*\vektor{1\\1}-131\vektor{3\\0}$
[/mm]
[mm] $f(T)\vektor{3\\0}=\vektor{223\\331}=331*\vektor{1\\1}-36\vektor{3\\0}$
[/mm]
Somit ist die Darstellungsmatrix:
[mm] $[f(T)]_\mathcal{B}=\pmat{319&331\\-131&-36}$
[/mm]
Stimmt das so?
Hättest du denn dann noch einen Tipp zum allgemeinen Beweis?
Das wäre super nett :)
Liebe Grüße
DerBaum
>
>
> [mm]f(T(\vektor{x\\y}))[/mm] gibt es überhaupt nicht!
> Überleg' doch mal: [mm]T(\vektor{x\\y})[/mm] ist ein
> Spaltenvektor. Was sollte denn ein "Spaltenvektor hoch 3"
> sein? Das ist doch gar nicht definiert.
>
>
> > Somit für
> > [mm]f(T\vektor{1\\
1})=\vektor{133\\
439}[/mm]
> >
> [mm]f(T\vektor{3\\
0})=\vektor{58\\
439}[/mm]
>
> s.o.
> Aber mal angenommen, es wäre richtig:
> > [mm]\Rightarrow [f(T)]_\mathcal{B}=\pmat{133&58\\
439&439}[/mm]
>
> Nein, das wäre nicht die Darstellungsmatrix bzgl
> [mm]\mathcal{B},[/mm] sondern die Matrix, die die lineare Abbildung
> f(T) bzgl der Basis [mm]\mathcal{B}[/mm] im Startraum und bzgl. der
> Standardbasis im Zielraum darstellt.
> In den Spalten der Matrix [mm][f(T)]_\mathcal{B}[/mm] stehen die
> Bilder der Basisvektoren von [mm]\mathcal{B}[/mm] in Koordinaten
> bzgl der Basis [mm]\mathcal{B},[/mm] nicht bzgl der Standardbasis!
>
> >
> > Desweiteren:
> > [mm]T\vektor{1\\
1}=\vektor{4\\
6}[/mm]
> > [mm]T\vektor{3\\
0}=\vektor{3\\
6}[/mm]
>
> Ja.
>
> > [mm]\Rightarrow [T]_\mathcal{B}=\pmat{4&3\\
6&6}[/mm]
>
> Auch hier: in den Spalten von [mm][T]_\mathcal{B}[/mm] stehen die
> Bilder der Basisvektoren von [mm]\mathcal{B}[/mm] in Koordinaten
> bzgl der Basis [mm]\mathcal{B},[/mm] nicht bzgl der Standardbasis!
>
> Ich hoffe, daß Du erkennst, daß Du zuvor einiges nicht
> richtig verstanden hattest.
>
> LG Angela
>
> >
> > [mm]f(\pmat{4&3\\
6&6})=\pmat{133&58\\
439&439}$[/mm]
> > Somit
> gilt die gleichheit für dieses Beispiel.
> > Aber wie kann ich das allgemein zeigen?
> >
> > Vielen Dank für die Antwort
> > lG
> > DerBaum
> > > LG Angela
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Mo 11.06.2012 | | Autor: | DerBaum |
Kann ich den allgemeinen Beweis denn dann wie folgt angehen?
Wenn gilt: [mm] $[f(T)]_\mathcal{B}=f([T]_\mathcal{B})$
[/mm]
dann gilt auch für ein [mm] $x\in [/mm] V$ bel.:
[mm] $[f(T)]_\mathcal{B}*x=f([T]_\mathcal{B})*x$
[/mm]
Nun zeige ich: [mm] $[f(T)]_\mathcal{B} [/mm] *x= [mm] f([T]_\mathcal{B})*x\;\; \forall x\in [/mm] V$
Seien [mm] $\mathcal{B}:=\{b_1,\hdots ,b_n}$ [/mm] mit [mm] $b_j:=\vektor{b_1^j\\ \vdots \\ b_n^j} \; \; \; \; (1\leq [/mm] j [mm] \leq [/mm] n)$, [mm] x:=\vektor{x_1\\ \vdots \\ x_n}\in [/mm] V, [mm] f(x):=a_ix^i$ [/mm] mit [mm] $a_i \in [/mm] K$
Also:
[mm] $f(T)(x)=\sum_{i=0}^n{a_iT^i(x)}$
[/mm]
[mm] $f([T]_\mathcal{B})=\sum_{i=0}^n{a_i*([T]_\mathcal{B})^i}$
[/mm]
Es gilt nach Def. der Abbildungsmatrix:
[mm] $[f(T)]_\mathcal{B}*x=f(T)(x)$
[/mm]
und
[mm] $f([T]_\mathcal{B})*x=(\sum_{i=0}^n{a_i*([T]_\mathcal{B})^i})*x=\sum_{i=0}^n{a_i*([T]_\mathcal{B})^i*x}=\sum_{i=0}^n{a_i*T^i(x)}=f(T)(x)=[f(T)]_\mathcal{B}*x$
[/mm]
Und damit wäre das ja eigentlich schon fertig, oder kann ich da nicht so vorgehen?
Vielen Dank
lG
DerBaum
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:12 Di 12.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Kann ich den allgemeinen Beweis denn dann wie folgt
> angehen?
>
> Wenn gilt: [mm][f(T)]_\mathcal{B}=f([T]_\mathcal{B})[/mm]
> dann gilt auch für ein [mm]x\in V[/mm] bel.:
> [mm][f(T)]_\mathcal{B}*x=f([T]_\mathcal{B})*x[/mm]
> Nun zeige ich: [mm][f(T)]_\mathcal{B} *x= f([T]_\mathcal{B})*x\;\; \forall x\in V[/mm]
>
> Seien [mm]$\mathcal{B}:=\{b_1,\hdots ,b_n}$[/mm] mit
> [mm]$b_j:=\vektor{b_1^j\\ \vdots \\ b_n^j} \; \; \; \; (1\leq[/mm] j
> [mm]\leq[/mm] n)$, [mm]x:=\vektor{x_1\\ \vdots \\ x_n}\in[/mm] V,
> [mm]f(x):=a_ix^i$[/mm] mit [mm]$a_i \in[/mm] K$
>
> Also:
> [mm]f(T)(x)=\sum_{i=0}^n{a_iT^i(x)}[/mm]
> [mm]f([T]_\mathcal{B})=\sum_{i=0}^n{a_i*([T]_\mathcal{B})^i}[/mm]
> Es gilt nach Def. der Abbildungsmatrix:
> [mm][f(T)]_\mathcal{B}*x=f(T)(x)[/mm]
> und
>
> [mm]f([T]_\mathcal{B})*x=(\sum_{i=0}^n{a_i*([T]_\mathcal{B})^i})*x=\sum_{i=0}^n{a_i*([T]_\mathcal{B})^i*x}=\sum_{i=0}^n{a_i*T^i(x)}=f(T)(x)=[f(T)]_\mathcal{B}*x[/mm]
> Und damit wäre das ja eigentlich schon fertig, oder kann
> ich da nicht so vorgehen?
Alles richtig.
FRED
>
> Vielen Dank
>
> lG
> DerBaum
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