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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | Es sei V ein K-Vektorraum mit Basisfolge [mm] B=(v_{1}, [/mm] ... , [mm] v_{n}) [/mm] und W ein Vektorraum mit Basisfolge [mm] B^{'}=(w_{1}, [/mm] ... , [mm] w_{m}).
[/mm]
Für eine lineare Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W gilt dann:
[mm] c_{B'}(f(v)) [/mm] = B'[f]B * [mm] c_{B}(v) [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V
wobei B'[f]B die zu f gehörige Abbildungsmatrix und
[mm] c_{B}(v)=\vektor{s_{1} \\ ... \\ s_{n}} [/mm] wenn [mm] v=\summe_{i=1}^{n} s_{i}*v_{i} [/mm] |
Ich lerne gerade für die mündliche Prüfung und kriege den Beweis einfach nicht hin. Wie beiweise ich, dass
[mm] c_{B'}(f(v)) [/mm] = B'[f]B * [mm] c_{B}(v) [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V
wirklich gilt?
MfG
Fuffi
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> Es sei V ein K-Vektorraum mit Basisfolge [mm]B=(v_{1},[/mm] ... ,
> [mm]v_{n})[/mm] und W ein Vektorraum mit Basisfolge [mm]B^{'}=(w_{1},[/mm]
> ... , [mm]w_{m}).[/mm]
> Für eine lineare Abbildung f: V [mm]\to[/mm] W gilt dann:
>
> [mm]c_{B'}(f(v))[/mm] = B'[f]B * [mm]c_{B}(v)[/mm] für alle v [mm]\in[/mm] V
>
> wobei B'[f]B die zu f gehörige Abbildungsmatrix und
> [mm]c_{B}(v)=\vektor{s_{1} \\ ... \\ s_{n}}[/mm] wenn
> [mm]v=\summe_{i=1}^{n} s_{i}*v_{i}[/mm]
> Ich lerne gerade für die
> mündliche Prüfung und kriege den Beweis einfach nicht hin.
> Wie beiweise ich, dass
>
> [mm]c_{B'}(f(v))[/mm] = B'[f]B * [mm]c_{B}(v)[/mm] für alle v [mm]\in[/mm] V
>
> wirklich gilt?
Hallo,
B'[f]B ist die darstellende Matrix der Abbildung f bzgl. der Basen B und B'. (Die tausend verschiedenen Schreibweisen hierfür machen mich noch wahnsinnig...)
Wie sieht diese Matrix aus?
Sie hat in der i_ten Spalte das Bild von [mm] v_i [/mm] in Koordinaten bzgl. B', in Eurer Schreibweise also [mm] c_{B'}(f(v_i)).
[/mm]
So. Nun rechnen wir B'[f]B * $ [mm] c_{B}(v) [/mm] $ aus.
Sei [mm] v=\summe a_iv_i, [/mm] d.h. [mm] c_B(v)=\vektor{a_1 \\ \vdots \\ a_n}.
[/mm]
Es ist
B'[f]B * [mm] c_{B}(v) [/mm]
[mm] =\underbrace{ (c_{B'}(f(v_1)), ... , c_{B'}(f(v_n)))}_{Matrixspalten}*c_B(\summe a_iv_i) [/mm]
= [mm] (c_{B'}(f(v_1)), [/mm] ... , [mm] c_{B'}(f(v_n)))*\vektor{a_1 \\\vdots \\ a_n}
[/mm]
[mm] =(c_{B'}(f(v_1)), [/mm] ... , [mm] c_{B'}(f(v_n)))(a_1*\vektor{1\\0 \\ \vdots \\ 0}+a_2\vektor{0\\1 \\ 0\\\vdots \\ 0}+...+a_n\vektor{0\\ \vdots \\ 0\\1}) [/mm]
[mm] =a_1c_{B'}(f(v_1)) [/mm] + ... + [mm] a_nc_{B'}(f(v_n))=c_{B'}(a_1f(v_1))+ [/mm] ... [mm] +c_{B'}(a_nf(v_n))
[/mm]
[mm] =c_{B'}(a_1f(v_1)+ [/mm] ... [mm] +a_nf(v_n))=c_{B'}(f(a_1v_1+...+a_nv_n))=c_{B'}(f(v)).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Fuffi |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Mir ist mein Fehler nun bewusst. Ich habs verstanden.
MfG
Fuffi
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