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| Aufgabe 1 | Gegeben sind die Funktionen :
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] 2x+1
g: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] x+3
Zeigen Sie : (f [mm] \circ [/mm] g)(x) > (g [mm] \circ [/mm] f)(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Es seien f : [mm] \IR \to \IR [/mm] und g : [mm] \IR \to \IR [/mm] injektive Funktionen. Untersuchen Sie, ob (f + g)(x) := (f(x) + g(x)) injektiv ist. |
Hab mit dem ganzen Thema so meine probleme, hab deshalb auch keinen (wirklcih ABSOLUT KEINEN) Lösungsansatz. Würde mich sehr freuen wenn ihr mir einen Ansatz geben könntet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 So 18.12.2011 | | Autor: | dennis2 |
Moin!
Zu Aufgabe 1)
[mm] $(f\circ [/mm] g)(x)$ kannst Du auch schreiben als $f(g(x))$.
Ebenso: [mm] $(g\circ [/mm] f)(x)=g(f(x))$
Hilft das schon?
Einfach mal einsetzen.
Zu Aufgabe 2)
Wie weist man Injektivität nach?
Nimm' zwei (ungleiche) Elemente [mm] $x,y\in \mathbb [/mm] R, [mm] x\neq [/mm] y$, nimm an die hätten das gleiche Bild unter (f+g). Zeige, daß dann $x=y$. (Oder widerlege das.)
Dazu nutze die Voraussetzung, daß f und g injektiv sind.
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Hi,
vielen dank erstmal, der Tipp oben hat mir sehr geholfen... manchmal is man echt zu verkappt um sowas einfaches zu sehn.
Leider hat mir dein Tipp zu Aufgabe 2 nicht geholfen.
Mir ist zwar bewusst was ich tun muss um Injektivität zu beweisen, es hapert nur daran das ich keine Funktionen gegeben hab sondern nur den Definitionsbereich...
Ich kann ja nicht einfach hingehn und mir 2 Injektive Formeln ausdenken oder?
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Hallo Obi Wan,
> Hi,
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> vielen dank erstmal, der Tipp oben hat mir sehr geholfen...
> manchmal is man echt zu verkappt um sowas einfaches zu
> sehn.
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> Leider hat mir dein Tipp zu Aufgabe 2 nicht geholfen.
>
> Mir ist zwar bewusst was ich tun muss um Injektivität zu
> beweisen, es hapert nur daran das ich keine Funktionen
> gegeben hab sondern nur den Definitionsbereich...
>
> Ich kann ja nicht einfach hingehn und mir 2 Injektive
> Formeln ausdenken oder?
Nimm zwei sehr einfach gestrickte injektive Funktionen.
Etwa $f(x)=x, g(x)=-x$.
$f$ und $g$ sind beide injektiv, aber was ist $f+g$ und ist es injektiv?
Gruß
schachuzipus
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Also doch einfach 2 Injektive Funktionen ausdenken ...
dann folgt daraus ja
f(x) = x und g(x) = -x
f(x) + g(x) = x - x = 0
Also nichtmehr Injektiv. Richtig?
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Hallo nochmal,
> Also doch einfach 2 Injektive Funktionen ausdenken ...
Ja, um eine Allaussage zu widerlegen, genügt ein Gegenbsp.
Wenn du 2 Funktionen findest, für die die Aussage nicht gilt, dann kann sie ja nicht für alle Funktionen gelten
Für einen Beweis reichen natürlich Beispiele nicht ...
>
> dann folgt daraus ja
>
> f(x) = x und g(x) = -x
> f(x) + g(x) = x - x = 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also nichtmehr Injektiv. Richtig?
Ja, warum ist $f+g$ nicht injektiv?
Gruß
schachuzipus
>
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Weil bei der aussage die wir gemacht haben
f(x) + g(x) = 0 ist und alle elemente von D auf das gleiche Element von M zeigen nämlich 0, oder?
Also das wär jetzt meine Erklärung gewesen dafür :)
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Hallo nochmal,
> Weil bei der aussage die wir gemacht haben
>
> f(x) + g(x) = 0 ist und alle elemente von D auf das gleiche
> Element von M zeigen nämlich 0, oder?
>
> Also das wär jetzt meine Erklärung gewesen dafür :)
Ja, da hast du umgangssprachlich natürlich vollkommen recht, versuche aber auch, es mathemat. zu sagen (ist doch ne gute Übung  ):
Wähle etwa [mm]x=0, y=1[/mm], dann ist zwar [mm]x\neq y[/mm], aber [mm](f+g)(x)=(f+g)(y)=0[/mm], also [mm]f+g[/mm] nicht injektiv.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 18.12.2011 | | Autor: | ObiKenobi |
Vielen vielen Dank!
Und danke für die Kleine Übung noch am rande (:
Manchmal fühl ich mich so dumm ... obwohl das so unendlich einfach is =(
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