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Hallo,
habe hier in einem Beispiel stehen:
[mm] \gamma: \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] (surj. Abbildung)
[mm] ker(\gamma) [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
[mm] \bruch{\IR^{3}}{\IR} \cong \IR^{2}
[/mm]
[mm] im(\gamma) [/mm] = [mm] \IR^{2}
[/mm]
sowie:
[mm] \gamma: \IR^{2} \to \IR^{3} [/mm] (injektive Abbilung)
[mm] ker(\gamma) [/mm] = 0
[mm] \bruch{\IR^{2}}{0} \conq \IR^{2}
[/mm]
[mm] im(\gamma) [/mm] = [mm] \IR^{2}
[/mm]
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Habe ein wenig Probleme diese Beispiele zu verstehen.
Warum die Abbildungen surjektiv bzw. injektiv sind ist mir klar.
Der Kern sind die Elemente im Urbild die auf das neutrale Element abbilden.
Doch wie kommt man hier zu [mm] \IR [/mm] bzw. 0?
Dann verstehe ich die Ausdrücke mit der Isomorphie nicht ganz.
Isomorphie ist doch "gleich" oder?
Liebe Grüße und danke
steffi
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Sei T [mm] \in [/mm] Hom(V,W) und V endlich-dimensionaler Vektorraum. Dann ist range(T) (oder im(T) oder Bild(T)) ein endlich-dimensionaler Unterraum von W und es gilt
dim V = dim null T + dim range T,
wobei null T das gleiche ist wie kern(T).
Weiterhin ist T injektiv genau dann wenn null T = {0}, surjektiv genau dann wenn range T = W.
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