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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Do 12.07.2007 | | Autor: | ernstl |
| Aufgabe | a)
Ist die durch die Matrix
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| 3 4 |
gegebene Abbildung von R² -> R² bijektiv?
b)
a)
Ist die durch die Matrix
| 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
gegebene Abbildung von [mm] R^3 [/mm] -> [mm] R^3 [/mm] bijektiv? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bräuchte ein wenig Unterstützung bei der Aufgabe. Sollte eigentlich trivial sein, aber ich bin nicht sicher ob meine Lösung stimmt.
Also ich nenne die Abbildung mal B und die Ursprungsmatrize mal A:
- surjektiv: weil es für alle y B eine Abbildung gibt (x11 = y11 , x12 = y12, usw.) ist die Abbildung surjektiv
- injektiv: Bei allen y in B gibt es immer genau einen Ursprung. Also ist es injektiv
- daraus folgt, dass die Abbildung auch bijektiv ist (surjektiv + injektiv)
Das sollte für beide Aufgaben gleich gelten, oder?
Ernst
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Sei A:= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }. [/mm] Die Abbildung heißt injektiv genau dann wenn [mm] \ker(A) [/mm] ={0}. Also einfach den Kern der Abbildung ausrechnen. Wenn der Kern 0 ist dann ist die Abbildung trivialerweise surjektiv da dim V=dim Ker + dim Im. Da A ein Endomorphismus ist gilt das trivialerweise. Du kannst auch die determinate ausrechnen wenn die [mm] \not= [/mm] 0 ist dann ist die Abbildung bijektiv weil es dann eine Umkehrabbildung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Fr 13.07.2007 | | Autor: | ernstl |
Vielen Dank schon mal.
Ich habe noch eine Frage zum Berechnen des Kerns... Bzw weiß ich gar nicht wie das geht.
Was bezeichnest du mit V bzw. dim? Hab keine Ahnung wofür die Abkürzungen stehen. Ist V hier die Addition der Vektoren der beiden Kerne von Matrix und Abbild?
Ich suche schon eine ganze Zeit lang im Netz und in verschiedenen Skripten, aber ich finde einfach keine anschauliche Erklärung für meine simplen Aufgaben, die nicht vom Hundertsten ins Tausendste geht.
Soweit bin ich gekommen:
- man muss die Matrix in ein Gleichungssystem bringen und 0en rechts anhängen und dann etwa nach Gauss-Jordan auflösen?
- Wenn der daraus ergebene Vektor nur 0en enthält ist die Abbildung injektiv?
- Wenn man die Vektoren von Matrix und Abbild addiert und darin nur 0en sind, ist das Abbild surjektiv ?
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Hallo ernstl,
also erstmal zu den Bezeichnungen:
V=Vektorraum
dim V = Dimension des Vektorraumes V
Hier ist [mm] V=\IR^2 [/mm] bzw. im 2.Teil [mm] V=\IR^3
[/mm]
mit den Dimensionen 2 bzw. 3
Der Kern einer (linearen) Abbildung bzw. der Kern der Matrix, die die Abbildung repräsentiert, ist die Menge der Vektoren, die auf 0 abgebildet werden
Das ist in Teil 1 die Menge [mm] \{v\in\IR^2\mid A\cdot{}v=0\}
[/mm]
mit [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
Nimm dir also ein [mm] v=\vektor{v_1\\v_2}\in\IR^2 [/mm] her und setze mal die Gleichung Av=0 an..
Das entstehende zu lösende LGS kannste mit einem Verfahren deiner Wahl verarzten, Gauß in Matrixschreibweise bietet sich an, weil es sehr übersichtlich ist, aber nimm eines, das du kennst bzw. das du magst
Mit 0 ist übrigens durchgehend der Nullvektor in [mm] \IR^2 [/mm] bzw in Teil2 im [mm] \IR^3 [/mm] gemeint
LG
schachuzipus
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