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| Aufgabe | (a) Man beweise, daß die Menge aller Abbildungen [mm] f_{a,b} [/mm] : R [mm] \to [/mm] R von der Gestalt
[mm] f_{a,b}(x) [/mm] = ax + b (a, b, x [mm] \in [/mm] R, a [mm] \not= [/mm] 0)
zusammen mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine nichtabelsche
Gruppe G bildet.
Was ist das neutrale Element von G? Was ist das inverse Element zu fa,b?
(b) Man finde alle f [mm] \in [/mm] G mit Ord f < 1.
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wie kann ich hier anfangen....
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> (a) Man beweise, daß die Menge aller Abbildungen [mm]f_{a,b}[/mm] :
> R [mm]\to[/mm] R von der Gestalt
> [mm]f_{a,b}(x)[/mm] = ax + b (a, b, x [mm]\in[/mm] R, a [mm]\not=[/mm] 0)
> zusammen mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen
> eine nichtabelsche
> Gruppe G bildet.
> Was ist das neutrale Element von G? Was ist das inverse
> Element zu fa,b?
> (b) Man finde alle f [mm]\in[/mm] G mit Ord f < 1.
>
> wie kann ich hier anfangen....
Hallo,
Du mußt hier die Gruppenaxiome eins nach dem anderen abarbeiten.
1. G ist nichtleer
2. [mm] \circ [/mm] ist eine innere Verknüpfung
3. [mm] \circ [/mm] ist assiziativ
4. Es gibt ein neutrales Element in (G, [mm] \circ)
[/mm]
5 jedes Element aus G hat ein inverses.
Die Besonderheit bei der Aufgabe ist, daß die Elemente v. G Funktionen sind, was sicher recht ungewohnt ist.
Ich zeige Dir mal, wie man 2. macht.
Seien [mm] f_{a,b} [/mm] und [mm] f_{c,d}\in [/mm] G.
Zeigen muß man nun, daß auch [mm] f_{a,b} \circ f_{c,d}\in [/mm] G ist.
Sicher bildet [mm] f_{a,b} [/mm] und [mm] f_{c,d} [/mm] von R nach R ab.
Sei nun x [mm] \in \IR.
[/mm]
Es ist [mm] (f_{a,b} \circ f_{c,d})(x)=f_{a,b}(f_{c,d}(x))=f_{a,b}(cx+d)=a(cx+d)+b= [/mm] acx + ad + b.
Wegen ac und [mm] (ad+b)\in [/mm] R ist und [mm] ac\not=0 [/mm] (wg [mm] a,c\not=0), [/mm] ist [mm] f_{a,b} \circ f_{c,d} [/mm] in G.
Nun versuch mal weiterzumachen.
Gruß v. Angela
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wie kann man das neutrale Element bestimmen? und wie findet
man alle f [mm] \in [/mm] G mit Ord f < [mm] \infty
[/mm]
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> wie kann man das neutrale Element bestimmen? und wie
> findet
> man alle f [mm]\in[/mm] G mit Ord f < [mm]\infty[/mm]
Hallo,
für das neutrale Element [mm] f_{n_1,n_2} \in [/mm] G gilt:
Für alle [mm] f_{a,b} \in [/mm] G gilt [mm] f_{n_1,n_2}\circ f_{a,b}= f_{n_1,n_2}\circ f_{a,b} [/mm] = [mm] f_{a,b} [/mm]
Nun ermittele [mm] n_1, n_2 [/mm] so, daß ( [mm] f_{n_1,n_2}\circ f_{a,b})(x)=f_{a,b}(x) [/mm] für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
> und wie
> findet
> man alle f [mm]\in[/mm] G mit Ord f < [mm]\infty[/mm]
Hier mußt Du schauen, unter welchen Bedingungen es ein [mm] N\in \IN [/mm] gibt mit
[mm] f_{a,b}^N=neutrales [/mm] Element in G.
Gruß v. Angela
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Hier mußt Du schauen, unter welchen Bedingungen es ein [mm] n\in \IN [/mm] gibt mit
[mm] f_{a,b}^n=neutrales [/mm] $ Element in G.
das versteh ich nicht... soll ich hier einfach die funktion dem neutralen element gleichsetzen... da würde a=1 und b=0 rauskommen, aber was is das
für ein n??
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> Hier mußt Du schauen, unter welchen Bedingungen es ein
> [mm]n\in \IN[/mm] gibt mit
>
> [mm]f_{a,b}^n=neutrales[/mm] $ Element in G.
>
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>
> das versteh ich nicht... soll ich hier einfach die funktion
> dem neutralen element gleichsetzen...
> aber was is das für ein n??
Hallo,
Ordnung der Funktion [mm] <\infty [/mm] bedeutet eben, daß es so ein n gibt.
Und sagt nun: angenommen es gibt so ein n, wie müssen dann die a,b sein, damit [mm] f_{a,b}^n=neutr.Element.
[/mm]
Hierzu mußt Du erstmal herausfinden, wie die Funktion [mm] f_{a,b}^n [/mm] aussieht.
Gruß v. Angela
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