Abbildungen mittels Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 So 26.09.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo allerseits!
Mir schwirrt eine Frage aus einem mündlichen Algebra-Vordiplom durch den Kopf, die mich immer mehr verwirrt, je länger ich drüber nachdenke....
Undzwar war die Frage?
Kann man jede Abbildung mit Hilfe von Matrizen darstellen?
Nun ja!
In den Vorlesungen Lineare Algebra 1 und 2 haben wir zu Beginn lineare Abbildungen betrachtet, also solche, für die gilt:
1) (f+g)(x)=f(x)+g(x) und
2) f( [mm] \lambda [/mm] x)= [mm] \lambda [/mm] f(x)
und haben dann später bilineare Abbildugngen betrachtet, für die gilt:
1) F(v+v',w)=F(v,w)+F(v',w) , F( [mm] \lambda [/mm] v, w)= [mm] \lambda [/mm] F(v,w) und
2) F(v,w+w')=F(v,w)+F(v,w') , F(v, [mm] \lambda [/mm] w)= [mm] \lambda [/mm] F(v,w)
Bloß sind das schon alle?
Lineare Abbildungen haben ja mittels Matrizen folgende Gestalt:
f: V [mm] \to [/mm] V, v [mm] \mapsto [/mm] Av
und bilineare Abbildungen:
f: V x V [mm] \to [/mm] K , (v,w) [mm] \mapsto [/mm] ((v)T)Aw
Kann man das noch weiterführen?
Und wenn nicht, wie begründe ich dann exakt, dass sich nur lineare bzw. bilineare Abbildungen mittels Matrizen darstellen lassen?
Ich hab echt Angst, dass mir genau die Frage in der mündlichen Prüfung gestellt wird und ich sie dann nicht recht beantworten kann....
Bitte helft mir!!!!
Liebe Grüße
Cremchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 So 26.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Cremchen!
Im Moment verstehe ich das Problem nicht so ganz. Natürlich lässt sich nicht jede Abbildung durch eine Matrix darstellen, jedenfalls nicht in dem üblichen Sinne.
Ist [mm] $f:\IR^n \to \IR^n$ [/mm] eine Abbildung und lässt sich $f$ durch eine Matrix darstellen, dann gilt mit irgendeiner Basis [mm] ${\cal B}$ [/mm] des [mm] $\IR^n$:
[/mm]
$f(x) = [mm] M_{{\cal B}}(f)\cdot x_{\cal B}$,
[/mm]
wobei [mm] $M_{{\cal B}}(f)$ [/mm] die darstellende Matrix von $f$ bezüglich der Basis [mm] ${\cal B}$ [/mm] ist (d.h. in den Spalten stehen die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren von [mm] ${\cal B}$ [/mm] bezüglich der Basis [mm] ${\cal B}$) [/mm] und [mm] $X_{\cal B}$ [/mm] der Koordinatenvektor von $x$ bezüglich der Basis [mm] ${\cal B}$.
[/mm]
So würde ich den Satz "$f$ lässt sich durch eine Matrix beschreiben" interpretieren. Oder wie ist das sonst gemeint?
In diesem Fall wäre $f$ notwendigerweise linear, denn
[mm] $f(\lambda [/mm] x + [mm] \mu [/mm] y) = [mm] M_{{\cal B}}(f)\cdot (\lambda [/mm] x + [mm] \mu y)_{\cal B} [/mm] = [mm] M_{{\cal B}} \cdot (\lambda x_{\cal B} [/mm] + [mm] \mu y_{\cal B}) [/mm] = [mm] \lambda \cdot( M_{{\cal B}}\cdot x_{\cal B}) [/mm] + [mm] \mu \cdot( M_{{\cal B}} \cdot y_{\cal B}) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] f(x) + [mm] \mu [/mm] f(y)$.
Aber es gibt auch nicht-lineare Abbildungen $f: [mm] \IR^n \to \IR^n$, [/mm] etwa für $n=1$ die Abbildung [mm] $f(x)=e^x$.
[/mm]
Oder habe ich die Frage falsch interpretiert?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 27.09.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo Stefan!
Also als mir die Frage, ob sich jede Abbildung mit Hilfe einer Matrix darstellen läßt, war ich erstmal verblüfft, weil ich mich mit dieser Frage nie auseinandergesetzt habe!
Behandelt haben wir wie gesagt nur lineare bzw. bilineare Abbildungen!
Aber es gibt ja auch Abbildungen, wie zum Beispiel die Funktion f(x)=sin(x), bei denen ich nicht wüßte wie man sie mittels einer Abbildung darstellt!
Ich weiß ehrlich auch gar nicht wie weit ich im Rahmen eines Algebra-Vordiploms ausholen muß!
Nur wenn er mich fragt, ob man jede Abbildung mittels einer Matrix darstellen kann, und ich antworte, nur lineare bzw. bilineare Abbildungen, und er fragt dann warum, dann bin ich wieder sprachlos.....
Also vielleicht verbeiße ich mich da in die Frage, aber irgendie werd ich die nich los....
Liebe Grüße
Cremchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Di 28.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Cremchen!
Ich würde auf die Frage antworten: "Genau die linearen Abbildungen!"
(Dass es dann auch bilineare (in einem anderen Sinne!) sind, ist klar, da sie durch Festhalten einer der beiden Stellen ja linear werden, das würde ich aber erst auf Nachfrage erwähnen.)
Den Grund habe ich dir ja genannt: Wenn man eine Abbildung durch eine Matrix in dem von mir beschriebenen Sinne darstellen kann, kann man sofort sehen, dass die Abbildung linear sein muss, weil die Matrizenmultiplikation das eben ist. (Es ist zugegebenermaßen ein etwas zirkuläres Argument, aber ich wüsste sonst nicht, was der Professor dazu hören will.)
Die Abbildungsvorschrift der Sinusfunktion lässt sich nicht durch eine Matrix beschreiben, da die Sinusfunktion nicht linear ist.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Di 28.09.2004 | | Autor: | puschel |
Hallo,
ich habe nächste Woche Mathe-Prüfung und bin dementsprechend nervös.
Eigentlich habe ich mehrere Fragen aber ich will doch erstmal langsam anfangen...
Mein Prüfer hat immer eine bestimmte Frage...
1. Wie hängen lineare Abbildungen mit Matrizen zusammen?
Ich habe schon einiges dazu gelesen aber evtl. wisst Ihr ja was eine richtig treffende Antwort wäre!Habe besonders Probleme mit der Anschauung und würde das gerne mal in Worte gefasst hören.
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Di 28.09.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
> Hallo,
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> 1. Wie hängen lineare Abbildungen mit Matrizen zusammen?
Deine Frage ist eigentlich schon in diesem Themenbaum von Stefan beantwortet worden:
Die Matrix enthält die Bilder der Basisvektoren unter der Abbildung $f$. Anders: Wenn Du die kanonische Basis hast [mm] $(e_1,e_2,...)$ [/mm] und beispielsweise die Matrix
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & ...\\ 3 & 4 & ... \\ 0 & 0 & ... \\ ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ...}$
[/mm]
dann ist das Bild des Basisvektor [mm] $e_1 [/mm] := [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ ... \\ 0}$ [/mm] der Vektor [mm] $\vektor{1\\3\\0\\...\\0}$ [/mm] - also die erste Spalte der Matrix.
Gruß,
Stefan
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