Abbildungen,Verallg. Operation < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Zu meinen Vorkenntnissen: Ich bin ein 14 Jahre alter Schüler der jetzt in die Oberstufe des Gymnasiums kommt. Da die Mathematik meiner Ansicht nach zu den schönsten Dingen der Welt gehört setzte ich mich in meiner Freizeit intensiv mit mathematischen Themen auseinander.
Momentan beschäftige ich mich mit Abbildungen und bin auf folgendes Problem gestoßen:
Was ist der Unterschied zwischen dem Urbild und der Umkehrabbildung?
Ich danke im Voraus für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Sa 21.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Hallo,
herzlichen Willkommen im Forum!
Schön, dass du dich in deinem Alter schon mit solchen mathematischen Problemstellungen beschäftigst. 
Zu deiner Frage:
Das Bild einer Abbildung ist eine Menge, nämlich jene, die alle Punkte enthält, die durch deine Abbildung erreicht werden. Das klingt zunächst etwas kompliziert.
Nehmen wir mal ein einfaches, 1-dimensionales Beispiel einer Normalparabel mit der Abbildung f, wobei [mm] $f(x)=x^2$.
[/mm]
Setzt du nun Werte (reelle Zahlen) in deine Abbildung, erhälst du schließlich eine positive Zahl (zB für x=2 erhälst du 4 usw). Wenn du dir das genauer überlegst, wirst du feststellen, dass du durch diese Abbildung jede beliebe positive Zahl erreichen kannst (zB für 9 für x=3 oder x=-3 usw) Das heißt in diesem Fall ist dein Bild die Menge aller Punkte, die größer als Null sind.
Bei den Begriffen "Urbild" und "Umkehrabbildung" ist die Idee die gleiche.
Du betrachst nur dann [mm] $f^{-1}$ [/mm] statt f und schaust nun, wie die Menge aller Punkte aussieht, die durch diese Abbildung erreicht wird. Diese Menge bezeichnet man als "Urbild" der Umkehrabbildung.
Ich hoffe, ich konnte dir etwas helfen.
Viele Grüße, Dester
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> Was ist der Unterschied zwischen dem Urbild und der
> Umkehrabbildung?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Der Unterschied ist riesengroß: das Urbild ist eine Menge, und die Umkehrabbildung ist eine Abbildung.
Rufen wir uns zuerst in Erinnerung, was eine Abbildung ist: eine Abbildung zwischen den Mengen A und B ordnet jedem Element der Menge A genau ein Element einer Menge B zu.
Beispiel:
Wir betrachten die Abbildung f zwischen den Mengen
A:={1,2,3} und [mm] B:=\{a,b,c,d\}, [/mm]
welche wie folgt zuordnet:
[mm] 1\mapsto [/mm] a
[mm] 2\mapsto [/mm] b
[mm] 3\mapsto [/mm] b.
Man könnte auch schreiben
f(1):=a
f(2):=b
f(3):=b.
Nun zum Urbild:
Zum Urbild gehört erstens die Angabe der Menge, deren Urbild angegeben werden soll, und die Angabe der Funktion, um welche es geht.
Ich mach's mal am Beispiel oben.
Wir interessieren uns für das Urbild der Teilmenge [mm] C:=\{ b,c\} [/mm] des Wertebereiches B bzgl. der Abbildung f.
Das Urbild von C bzgl der Abbildung f enthält all die Elemente des Definitionsbereiches A von f, welche auf Elemente von C abgebildet werden.
Hier wäre das Urbild von C die Menge [mm] \{2,3\}. [/mm] Man schreibt manchmal [mm] f^{-1}(C)=\{2,3\}, [/mm] aber diese Schreibweise ist etwas verwirrend, denn sie suggeriert, daß es etwas mit Umkehrabbildung zu tun hat, was zunächst mal gar nicht der Fall ist.
Zur Umkehrabbildung:
eine Umkehrabbildung gibt es nicht zu jeder Abbildung. Zu der obigen gibt's nämlich z.B. keine.
Wenn wir oben umkehren und die Zuordnung von Elementen von B zu solchen von A betrachten, stellen wir fest, daß das Element b zwei Elementen zugeordnet werden müßte, die Elemente c und d hingegen haben überhaupt keinen Partner. Beides ist ein no go für Abbildungen.
Umkehren kann man nur solche Abbildungen, bei denen jedes Element des Wertebereiches wirklich einen Partner im Definitionsbereich hat, und bei denen kein Element des Wertebereiches mehr als einen Partner im Definitionsbereich hat.
Ein Beispiel für eine Abbildung, die man umkehren kann, wäre die Abbildung h zwischen den Mengen [mm] D:=\{4,5,6\} [/mm] und [mm] E:=\{e,f,g\} [/mm] mit
[mm] 4\mapsto [/mm] e
[mm] 5\mapsto [/mm] f
[mm] 6\mapsto [/mm] g
Soweit fürs erste, ich will's ja nicht übertreiben.
Du kannst gerne Rückfragen stellen, wenn Dir etwas unklar ist.
Gruß v. Angela
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Hallo,
Danke für die freundliche Unterstüzung und den ausführlichen Antworten.
Ich wiederhole nun die zwei Begriffe wie ich sie verstanden habe
(Ich bitte um Anregungen falls ich etwas falsch verstanden habe).
Urbild:
Man ordnet dem Bild einer Abbildung (Menge B) ein Urbild der Menge A zu. Dies ordnet man mithilfe von Teilmengen von B zu. Dadurch erhält man den ursprünglichen Definitionsbereich A.
Anders bei der Umkehrabbildung.
Eine Abbildung f:A->B erhält man definitionsgemäß, durch eine Zuordnungsvorschrift die jedem [mm] x\in [/mm] A eindeutig ein Element [mm] fx\in [/mm] B zuordnet.
Da in manchen Fällen (wie schon vorhin erwähnt) die Zuordnung nicht eindeutig ist kann man keine Umkehrabbildung zuordnen.
Die Menge welche durch die Umkehrabbildung ensteht heißt Urbild der Menge B.
Die Urmenge ist somit die Menge A.
Die durch die Umkehrabbildung gebildete Menge ebenfalls (unter Vorraussetzung einer eindeutigen Zuordnung zweier Mengen.)
Die Umkehrfunktion ist wiederum ein etwas anderer Begriff (siehe Kommentar leduart)
Während des Lernens der Begriffe ist mir noch nie eine Darstellung mittels Funktionsgrafen der genannten Begriffe untergekommen.
Ich habe mir einen Funktionsgraphen aufgezeichnet mit der Funktion [mm] x^2.
[/mm]
Dabei habe ich die x-Achse als eine Menge A und die y-Achse als eine Menge B betrachtet.
Ich verwendete dies bei beiden Begriffen um diese Abstraktheit ein wenig anschaulicher zu machen.
(Grafik im Anhang)
Wie man auf der Grafik erkennt handelt es sich bei der Menge B (y-Achse) um das Bild der Abbildung f von der Menge A (x-Achse).
Um die Parabel (Graph) zu veranschaulich trägt man den Punkt in A [mm] \times [/mm] B in in das Koordinatensystem ein. Man A [mm] \times [/mm] B nun auch verwenden um die beiden Begriffe zu bilden oder?
Demnach ist das Urbild und die Menge welche durch die Umkehrabbildung gebildet wird die Menge A oder x-Achse richtig?
Eine Frage hätte ich noch, wo ich gerade vom kartesischen Produkt schrieb.
Ich habe bisher alle Gesetzmäßigkeiten der grundlegenden Mengenoperatoren mittels Wahrheitstabellen bewiesen.
Doch wie funktioniert das mit den Regeln im Anhang?
Wie beweißt man diese?
Ich habe zusätzlich noch die Definition des kartesischen Produktes angehängt!
Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 So 22.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du unterscheidest immer noch nicht richtig zwischen Abbildung und Menge.
da sagt dein Satz:"Die Urmenge ist somit die Menge A.
Die Umkehrfunktion somit ebenfalls (unter Vorraussetzung einer eindeutigen Zuordnung zweier Mengen.)"
die Umkehrfkt ist keine Menge, und die Menge ist eine Umkehrfkt.
nimm [mm] f(x)=x^2 [/mm] Urbildmenge z. Bsp {0,1,2,5} Bild Menge {0,1,4,25} die Umkehrabbildung wäre in diesem Fall [mm] f^{-1}=|\wurzel{y}| [/mm] wenn y Element der Bildmenge.
zu derselben Abbildung kann ich ne andere Urbildmenge nehmen :
{-5,0,1,2,5} Die Bildmenge ist dieselbe, du kannst keine Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] angeben. aber es gibt natürlich eine Umkehrabbildung von {0,1,2,5}nach {-5,0,1,2,5}
du musst nur jedem einzelnen Element sein Urbild zuordnen.
Eine Abbildung braucht immer ne Definitions oder Urbildmenge, sie hat dann eine Bildmenge, manchmal kann man diese Abbildung der Mengen als mathematische Funktion in formeln schreiben, manchmal nicht.
Du hast eine Abbildung, wenn du jedem Element der Menge {Menschen} sein Gewicht in kg zuordnest, eine andere wenn du ihnen ihr Alter in Monaten zuordnest usw.
vielleicht solltest du nicht nur Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ansehen.
ein Foto etwa ist eine Abbildung eines Teiles unseres [mm] \IR^3 [/mm] nach [mm] \IR^2
[/mm]
die Abbildung mathematische Abbildung f(x,y)=x x,y aus [mm] R\times [/mm] R bildet den [mm] \IR^2 [/mm] in den /IR ab usw.
Vielleicht solltest du sagen, in welchem Zusammenhang du auf Abbildungen gestossen bist.
Gruss leduart
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Hallo
Um die Frage von leduart zu beantworten: Da mich die Mengenlehre sehr interessiert, versuche ich sie zu erlernen. Unter anderem gehören auch Abbildungen zur Mengenlehre und daher will ich sie ebenfalls erlernen.
Danke für eure Hilfe, ich meine es verstanden zu haben.
Ich habe bereits wieder ein neues Problem (welches erneut unter anderem eine Abbildung betrifft).
Genauer gesagt liegt mein Problem beim verallgemeinerten Durchschnitt bzw. der verallgemeinerten Vereinigung.
Dabei habe ich bei folgender Definition inklusive Beispiel Fragen:
Sei M eine Menge und [mm] I\not=0 [/mm] eine Indexmenge, ferner [mm] \lambda:I\to\mathcal{P}(M) [/mm]
[mm] i\mapsto\lambda(i) [/mm] =:Ai eine Abbildung.
Der Durchschnitt [mm] \bigcap_{i \in I}^{}Ai [/mm] = [mm] \{x \in M \inM : \forall i \in I (x \in Ai )\} [/mm] ist die Menge derjenigen Elemente die in allen Ai gleichzeitig liegen.
Beispiel:
Man setzt I= [mm] \IZ [/mm] und M= [mm] \IR [/mm] Az= [z, z+1].
Das Ergebnis ist die leere Menge.
Nun zu meinen Fragen.
1. Im Beispiel wird ein Definitionsbereich für Ai angegeben. Warum wird jedoch in der Definition von Abbildungen gesprochen? Ist die Abbildung die Definition für den Definitionsbereich?
2. Wie stellt man dies graphisch mittels Venn-Diagramm oder anderer Methoden dar?
3. Kann mir jemand einen Link oder ähnliches für Übungsaufgaben dieses Thema betreffend empfehlen?
Bitte erklärt mir die Verallgemeinerung noch einmal von Grund auf.
Meines Wissens nach beginnt dies folgendermaßen: Man betrachtet die Definition für zwei Mengen:
A [mm] \cap [/mm] B:= [mm] \{x|x \in A \wedge x \in B \} [/mm] Dann will man dies für (unendlich-) viele Mengen verallgemeinern. Als A [mm] \cap [/mm] B ... [mm] \cap [/mm] N := [mm] \{x|x \in A \wedge x \in B \wedge ... \wedge N \}
[/mm]
Wie kann ich nun die endgültige Definition genauer zeigen?
Entschuldigung für die vielen Fragen, jedoch kann ich mich momentan an niemand anderen wenden. Ich hoffe ihr könnt mich wieder unterstüzen.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 So 29.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Definitionen kann man nicht zeigen, man kann sie nur akzeptieren, und zeigen ob sie "nützlich" sind und ob sie das tun, was man von ihnen will.
Für Zahlen aus x,y [mm] \in \IR [/mm] etwa ist die Addition x+y definiert.
daraus dann x+y+z usw. Die Summe über unendlich viele [mm] x_i [/mm] definiert man dann,
indem man sie für Summen von beliebig vielen [mm] x_i [/mm] weiss und für i gegen [mm] \infty [/mm] verallgemeinert.
>Sei M eine Menge und $ [mm] I\not=0 [/mm] $ eine Indexmenge, ferner $ [mm] \lambda:I
[/mm]
[mm] >\to\mathcal{P}(M) [/mm] $
>$ [mm] i\mapsto\lambda(i) [/mm] $ =:Ai eine Abbildung.
>Der Durchschnitt $ [mm] \bigcap_{i \in I}^{}Ai [/mm] $ = $ [mm] \{x \in M \inM : \forall >i \in I (x \in Ai )\} [/mm] $ ist die Menge derjenigen Elemente die in allen Ai >gleichzeitig liegen.
Mit [mm] A_i [/mm] ist hier nicht die Abbildung sondern die Bildmenge der Abb. gemeint.
Beispiel:
Man setzt I= $ [mm] \IZ [/mm] $ und M= $ [mm] \IR [/mm] $ Az= [z, z+1].
Das Ergebnis ist die leere Menge.
Bilde doch mal [mm] A_1 [/mm] bis [mm] A_5 [/mm] und deren Durchschnitt, was bleibt?
dann überleg, wie es weiter geht, wenn du immer mehr [mm] A_i [/mm] dazunimmst.
Nicht für alle Abbildungen gibts entsprechende anschauliche Diagramme.
hier kannst dus ja bis zu nem kleinen endlichen i noch malen, wenn i gross wird denkt man lieber.
Zu Übungsaufgaben dazu kann ich nix sagen, deshalb lass ich die Frage auf halb.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 So 29.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
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> Um die Frage von leduart zu beantworten: Da mich die
> Mengenlehre sehr interessiert, versuche ich sie zu
> erlernen. Unter anderem gehören auch Abbildungen zur
> Mengenlehre und daher will ich sie ebenfalls erlernen.
>
> Danke für eure Hilfe, ich meine es verstanden zu haben.
> Ich habe bereits wieder ein neues Problem (welches erneut
> unter anderem eine Abbildung betrifft).
> Genauer gesagt liegt mein Problem beim verallgemeinerten
> Durchschnitt bzw. der verallgemeinerten Vereinigung.
>
> Dabei habe ich bei folgender Definition inklusive Beispiel
> Fragen:
>
>
>
>
> Sei M eine Menge und [mm]I\not=0[/mm] eine Indexmenge, ferner
> [mm]\lambda:I\to\mathcal{P}(M)[/mm]
> [mm]i\mapsto\lambda(i)[/mm] =:Ai eine Abbildung.
> Der Durchschnitt [mm]\bigcap_{i \in I}^{}Ai[/mm] = [mm]\{x \in M \inM : \forall i \in I (x \in Ai )\}[/mm]
> ist die Menge derjenigen Elemente die in allen Ai
> gleichzeitig liegen.
>
> Beispiel:
> Man setzt I= [mm]\IZ[/mm] und M= [mm]\IR[/mm] Az= [z, z+1].
> Das Ergebnis ist die leere Menge.
>
>
>
>
> Nun zu meinen Fragen.
> 1. Im Beispiel wird ein Definitionsbereich für Ai
> angegeben. Warum wird jedoch in der Definition von
> Abbildungen gesprochen? Ist die Abbildung die Definition
> für den Definitionsbereich?
> 2. Wie stellt man dies graphisch mittels Venn-Diagramm oder
> anderer Methoden dar?
> 3. Kann mir jemand einen Link oder ähnliches für
> Übungsaufgaben dieses Thema betreffend empfehlen?
>
> Bitte erklärt mir die Verallgemeinerung noch einmal von
> Grund auf.
> Meines Wissens nach beginnt dies folgendermaßen: Man
> betrachtet die Definition für zwei Mengen:
> A [mm]\cap[/mm] B:= [mm]\{x|x \in A \wedge x \in B \}[/mm] Dann will man dies
> für (unendlich-) viele Mengen verallgemeinern. Als A [mm]\cap[/mm]
> B ... [mm]\cap[/mm] N := [mm]\{x|x \in A \wedge x \in B \wedge ... \wedge N \}[/mm]
>
> Wie kann ich nun die endgültige Definition genauer
> zeigen?
ich bin mir nicht sicher, ob ich Deine Frage richtig verstehe. Wie Leduart schon erwähnte, kann man Definitionen nicht zeigen - denn es sind Definitionen=Festlegungen=Vereinbarungen!
(Einschub: Übrigens ist der Beitrag sehr lang geworden, das für Dich vielleicht wirklich wichtige und interessante solltest Du aber auf jeden Fall dem P.S. unten entnehmen - und evtl. den 3 Absätzen darüber.)
Dass, was Du meinst, ist eher, wie man eine "Definition sinnvoll erweitern kann". Und das ist i.a. nicht immer sehr leicht, allerdings lernt man im Laufe des Studiums (wobei es bei Dir ja noch ein wenig dauert, bis das beginnt) die Definitionen vieler Begriffe und damit auch einen gewissen "Automatismus" - d.h. man kennt dann einige Definitionen für "unendliche Ausdrücke", und weiß, wie man sie zu formulieren hat, damit man das Bekannte in der Definition enthalten hat.
(Irgendwann wirst Du Dich vielleicht auch mit Reihen beschäftigen, und irgendwann wird Dir vielleicht auch der Begriff der ![[]](/images/popup.gif) Summierbarkeit über den Weg laufen. Formal kann man fast sagen, dass man vll. erstmal so versucht hat, den Begriff der Reihe, wo man formal ja "über eine abzählbare Indexmenge zu summieren scheint" (wobei es in Wirklichkeit eigentlich um die Teilsummenfolge geht), zu erweitern auf "Summen über eine beliebige (d.h. nicht notwendig abzählbare) Indexmengen").
Zurück zu Deiner Frage:
Wenn man für irgendeine Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm] und Mengen [mm] $A_i$ [/mm] nun [mm] $\bigcap_{i \in I}A_i=\{x: x \in A_i \text{ für jedes }i \in I\}$ [/mm] definiert, so gilt natürlich auch [mm] $\bigcap_{i \in I}A_i=A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_n\,,$ [/mm] wenn [mm] $I=\{1,...,n\}$ [/mm] endlich ist (wobei man auch die Kommutativität und - bzgl. dieser so dargestellten Definition vor allem wichtige - Assoziativität von [mm] $\cap$ [/mm] beachten sollte).
Manchmal muss man auch anders vorgehen, indem man sagt, dass eine Eigenschaft, die man vorher schon für eine endliche Menge kannte, für eine Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm] erweitert, indem man sagt:
"Wir sagen, die "(eigentlich genauer zu definierende) Eigenschaft" gilt bzgl. einer beliebigen Indexmenge [mm] $I\,,$ [/mm] falls:
Für jede endliche Teilmenge $J [mm] \subseteq [/mm] I$ gilt..."
Wichtig ist halt, dass man sich auch davon überzeugt - sofern man denn eine Eigenschaft "bzgl. einer beliebigen (d.h. nicht notwendig endlichen oder (später) abzählbaren) Indexmenge" erweitern will, dass sie zum einen sinnvoll ist (d.h. sowas wie wohldefiniert...), und dass sie zudem auch das "bekannte" bzw. die "alten Definitionen" enthält.
Oft geht man in der Mathematik den umgekehrten Weg: Man gibt die "allgemeine" Definition an, und beweist (oder läßt die Studenten sich davon überzeugen, z.B. in Übungsaufgaben), dass für endliche (oder später: oft auch abzählbare) Indexmengen die Definition "das altbekannte" liefert; oder noch gröber gesagt: Man zeigt, was diese Definition dann liefert.
Ein typisches Beispiel ist übrigens die Lineare Hülle, denn je nach Vektorraum kann der (abzählbar oder überabzählbar) unendlich viele Untervektorräume haben, und in dieser "Summendarstellung" der linearen Hülle (die man formal auch anders definieren kann: Man bildet (bzgl. Mengeninklusion) den kleinsten Unterraum, der alle die obigen Unterräume enthalt; das geht dann über Schnittdefinition, da der Schnitt von Unterräumen wieder ein Unterraum ist) stehen aber immer nur endlich viele Vektoren, die aufsummiert werden.
(Übrigens gibt's da in linearen Algebra auch noch so Sachen wie Hamelbasis und Schauderbasis. Aber auch das nur nebenbei. Vielleicht erinnerst Du Dich aber späer irgendwann mal dran, die Begriffe gehört zu haben und dass es da irgendwo einen Unterschied gibt.)
So, alles sehr abstrakt und vieles ist Dir wahrscheinlich unklar, weil Du die Begriffe gar nicht kennst (oder normalerweise noch nicht kennen kannst). Aber was Du mitnehmen solltest bzw. was ich Dir auf jeden Fall mit auf den Weg geben will:
Es gibt verschiedene "Abstufungen" von Mengen - i.a. unterscheidet man meist zwischen "endlich" (damit scheinen die meisten die wenigsten Probleme zu haben), "abzählbar (unendlich) und überabzählbar". Oft ist die Erweiterung von Definition bzgl. "endlichen" auf abzählbaren Indexmengen irgendwie auch etwas, was den meisten nicht so wirklich schwer fällt. Viele haben aber Probleme, sobald man mit überabzählbaren Indexmengen arbeitet.
Grob gesagt liegt das daran, dass wir glauben, mit dem kartesischene Produkt im Fall einer endlichen Indexmenge gut umgehen zu können, im Falle einer abzählbaren Indexmenge glauben wir das auch, sofern wir uns genügend mit Folgen beschäftigt haben.
Im Falle einer überabzählbaren Indexmenge verlieren wir aber quasi das Gefühl bzw. den Überblick, und gäbe es da nicht so etwas wie das Auswahlaxiom (oder dazu äquivalentes), so würden wir da quasi "so ziemlich den Durchblick verlieren".
P.S.:
Mit dem kartesischen Produkt solltest Du Dich übrigens durchaus beschäftigen, es reicht aber, wenn Du das erstmal für endliche Indexmengen tust. Denn Du hast vorhin quasi gefragt, ob man eine Funktion auch "mithilfe des Graphen definieren kann", und der Graph ist quasi ein kartesisches Produkt.
Dass das geht und wie das geht, kann man z.B. im Heuser (Lehrbuch der Analysis I) nachlesen, oder einfach hier (in Definition 1.2 steht quasi eine Definition eines (sehr einfachen) kartesischen Produkts, und mit dessen Hilfe wird dann in Definiton 1.6 der Begriff der Funktion definiert).
Beste Grüße,
Marcel
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Danke für die vielen Hilfen und Ratschläge,
Nun habe ich noch 4 Fragen.
1. Kann eine Indexmenge auch dieselbe Menge sein wie x?
2. Kann man eine Indexmenge als eine Art Zählmenge bezeichnen?
4. Wenn [mm] $x\in \mathbb{R}$ [/mm] ist, ist A selbstverständlich auch Element von [mm] $\mathbb{R}$?
[/mm]
5. Folgendes erscheint mir immer noch fragwürdig:
$A: [mm] I\rightarrow {{\mathcal P}} [/mm] (M)$
Bitte um Erklärung!
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Do 02.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die vielen Hilfen und Ratschläge,
>
> Nun habe ich noch 4 Fragen.
>
> 1. Kann eine Indexmenge auch dieselbe Menge sein wie x?
die Frage verstehe ich nicht. Kannst Du das umformulieren, oder ein Beispiel geben, was Du genau meinst?
> 2. Kann man eine Indexmenge als eine Art Zählmenge
> bezeichnen?
Nein, im allgemeinen leider nicht. Das liegt daran, dass wir unter "Zählmenge" sowas verstehen, was wir durchnummerieren können. Wir können "Nummern" (i.a. sind das natürliche Zahlen) verteilen, und erfassen damit jedes Objekt der Menge. Das klappt in [mm] $\IN\,,$ [/mm] in [mm] $\IZ$ [/mm] und in [mm] $\IQ\,.$ [/mm] Spätestens wenn wir zu [mm] $\IR$ [/mm] gelangen, können wir nicht mehr alle Elemente mithilfe solch einer "Nummerierung" erfassen (man sagt, dass [mm] $\IR$ [/mm] "überabzählbar" ist). Einen Beweis dieser Tatsache kann man z.B. mittels des Cantorschen Diagonalverfahrens führen (man nimmt an, [mm] $\IR$ [/mm] wäre doch "durchnummerierbar" und findet damit dann einen Widerspruch).
> 4. Wenn [mm]x\in \mathbb{R}[/mm] ist, ist A selbstverständlich auch
> Element von [mm]\mathbb{R}[/mm]?
Was ist [mm] $A\,$ [/mm] denn hier? Du musst schon genauer sagen, worauf Du Dich beziehst. In dem Link von mir ist (für irgendeine Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm] - die muss noch nichtmal gleichmächtig mit [mm] $\IQ$ [/mm] oder [mm] $\IR$ [/mm] sein; die Potenzmenge von [mm] $\IR$ [/mm] wäre z.B. "noch mächtiger" als [mm] $\IR$)
[/mm]
[mm] $$\produkt_{j \in I} A_j$$
[/mm]
für beliebige Mengen [mm] $A_j$ [/mm] definiert - und zwar als Menge aller Abbildungen mit Definitionsbereich [mm] $I\,,$ [/mm] deren Funktionswerte immer Werte in der Vereinigung der [mm] $A_j$ [/mm] sind. Das letzte braucht man nämlich, weil eine Funktion aus [mm] $\produkt_{j \in I} A_j$ [/mm] ausgewertet an der Stelle [mm] $k\,$ [/mm] stets einen Funktionswert hat, der in [mm] $A_k$ [/mm] liegt (per Definitionem).
Wenn Du z.B. [mm] $I=\{1,2,3\}$ [/mm] hättest, und [mm] $A_1=\{0,1\}$, $A_2=\IN$ [/mm] und [mm] $A_3=\IR\,,$ [/mm] so wäre
[mm] $$\produkt_{j \in I}A_j$$
[/mm]
die Menge aller Funktionen $f: [mm] \{1,2,3\} \to A_1 \times A_2 \times A_3\,,$ [/mm] so dass [mm] $f(1)\,$ [/mm] den Wert [mm] $0\,$ [/mm] oder [mm] $\,1$ [/mm] hat, [mm] $f(2)\,$ [/mm] stets einen natürliche Zahl ist und [mm] $f(3)\,$ [/mm] eine reelle Zahl ist.
D.h. mit [mm] $p(1)=0\,,$ [/mm] $p(2)=4$ und [mm] $p(3)=\pi$ [/mm] wäre [mm] $p\,$ [/mm] ein Element dieses kartesischen Produkts, aber mit [mm] $q(1)=0\,,$ [/mm] $q(2)=-5$ und $q(3)=27$ wäre wegen $-5 [mm] \notin \IN$ [/mm] wäre [mm] $q\,$ [/mm] keine solche Funktion.
> 5. Folgendes erscheint mir immer noch fragwürdig:
> [mm]A: I\rightarrow {{\mathcal P}} (M)[/mm]
> Bitte um Erklärung!
Ich versteh' auch hier Deine Frage nicht. Worauf beziehst Du Dich? Was hier steht, ist:
[mm] $A\,$ [/mm] ist eine Abbildung mit Definitionsbereich [mm] $I\,,$ [/mm] deren Wertebereich die Potenzmenge von [mm] $M\,$ [/mm] ist. (In Worten ausgedrückt heißt das: Nehme ich irgendein Element [mm] $j\,$ [/mm] aus [mm] $I\,$ [/mm] heraus und schau' mit den "Funktionswert" von [mm] $A\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $j\,$ [/mm] an (d.h. ich lasse [mm] $A\,$ [/mm] auf den Index los), so liefert mir das eine Teilmenge von [mm] $M\,.$)
[/mm]
Beachte:
Die Potenzmenge einer Menge [mm] $M\,$ [/mm] ist die Menge, die alle Teilmengen von [mm] $M\,$ [/mm] (selbst dann wieder als Elemente) enthält.
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo!
Danke an Marcel für die schnelle Antwort!
1.
> Hallo,
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> > Danke für die vielen Hilfen und Ratschläge,
> >
> > Nun habe ich noch 4 Fragen.
> >
> > 1. Kann eine Indexmenge auch dieselbe Menge sein wie x?
>
> die Frage verstehe ich nicht. Kannst Du das umformulieren,
> oder ein Beispiel geben, was Du genau meinst?
Ich meinte, dass die Indexmenge gleich der Menge ist, aus welcher x ebenfalls Menge ist! Alternative Fragestellung: Muss die Indexmenge eine andere Menge sein?
Beispiel:
[mm] $\bigcap\limits_{r\in \mathbb{R}}^{{}}{{{\mathbb{R}}_{r}}}:=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{\forall }_{r\in \mathbb{R}}}\left( x\in {{\mathbb{R}}_{r}} \right) \right\}$
[/mm]
In dem Beispiel habe ich absichtlich die Reellen Zahlen genommen, weil mich interessiert wo man zu zählen anfängt?
Kann man dieses Beispiel lösen?
2.
> 2. Kann man eine Indexmenge als eine Art Zählmenge
> bezeichnen?
> Nein, im allgemeinen leider nicht. Das liegt daran, dass wir unter "Zählmenge" sowas verstehen, was wir durchnummerieren können. Wir können "Nummern" (i.a. sind das natürliche Zahlen) verteilen, und erfassen damit jedes Objekt der Menge. Das klappt in $ [mm] \IN\,, [/mm] $ in $ [mm] \IZ [/mm] $ und in $ [mm] \IQ\,. [/mm] $ Spätestens wenn wir zu $ [mm] \IR [/mm] $ gelangen, können wir nicht mehr alle Elemente mithilfe solch einer "Nummerierung" erfassen (man sagt, dass $ [mm] \IR [/mm] $ "überabzählbar" ist). Einen Beweis dieser Tatsache kann man z.B. mittels des Cantorschen Diagonalverfahrens führen (man nimmt an, $ [mm] \IR [/mm] $ wäre doch "durchnummerierbar" und findet damit dann einen Widerspruch).
Ich weiß jetzt was eine Indexmenge ist, frage mich jedoch wie ich sie einem anderen erklären könnte, wenn man sie nicht als Zählmenge bezeiechnen kann! Wie könnte man die Indexmenge in Worten beschreiben?
3.
Stimmt diese Definition des verallgemeinerten Durchschnitts exakt?:
Sei M eine Menge und [mm] $I\ne \varnothing$ [/mm] eine Index-(andere) Menge, ferner [mm] $A:I\to {{P}_{\left( M \right)}}$ $i\mapsto {{A}_{\left( i \right)}}=:{{A}_{I}}$ [/mm] sei eine Abbildung.
Der Durchschnitt [mm] $\bigcap\limits_{i\in I}^{{}}{{{A}_{i}}}=\left\{ x\in M:{{\forall }_{i\in I}}\left( x\in {{A}_{i}} \right) \right\}$ [/mm] ist die Menge derjenigen Elemente die in allen [mm] ${{A}_{i}}$ [/mm] gleichzeitig liegen.
4.
> 4. Wenn [mm] $x\in \mathbb{R}$ [/mm] ist, ist A selbstverständlich auch
> Element von [mm] $\mathbb{R}$?
[/mm]
> Was ist [mm] $A\,$ [/mm] denn hier? Du musst schon genauer sagen, worauf Du >Dich beziehst. In dem Link von mir ist (für irgendeine Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm] - die muss noch nichtmal gleichmächtig mit [mm] $\IQ$ [/mm] oder [mm] $\IR$ [/mm] sein; die Potenzmenge von [mm] $\IR$ [/mm] wäre z.B. "noch mächtiger" als [mm] $\IR$)
[/mm]
[mm] $\produkt_{j \in I} A_j$
[/mm]
A ist hier eine Menge der zu vereinigenden Mengen Ai! (siehe Definition)
Den Abschnitt mit den Produkten muss ich noch genauer unter die Lupe nehmen.
5.
> 5. Folgendes erscheint mir immer noch fragwürdig:
> $A: [mm] I\rightarrow {{\mathcal P}} [/mm] (M)$
> Bitte um Erklärung!
> Ich versteh' auch hier Deine Frage nicht. Worauf beziehst Du Dich? Was hier steht, ist:
Entschuldigung für meine ungenaue Ausführung. Ich beziehe mich dabei auf die Definition! Oben habe ich jetzt die Definition noch einmal eingefügt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Di 07.09.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
Lies erst 2, dann 1.
> > > Nun habe ich noch 4 Fragen.
> > >
> > > 1. Kann eine Indexmenge auch dieselbe Menge sein wie x?
> >
> > die Frage verstehe ich nicht. Kannst Du das umformulieren,
> > oder ein Beispiel geben, was Du genau meinst?
>
> Ich meinte, dass die Indexmenge gleich der Menge ist, aus
> welcher x ebenfalls Menge ist! Alternative Fragestellung:
> Muss die Indexmenge eine andere Menge sein?
>
> Beispiel:
> [mm]\bigcap\limits_{r\in \mathbb{R}}^{{}}{{{\mathbb{R}}_{r}}}:=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{\forall }_{r\in \mathbb{R}}}\left( x\in {{\mathbb{R}}_{r}} \right) \right\}[/mm]
>
> In dem Beispiel habe ich absichtlich die Reellen Zahlen
> genommen, weil mich interessiert wo man zu zählen
> anfängt?
> Kann man dieses Beispiel lösen?
Auf jeden Fall mußt du sagen, was [mm] \IR_{r} [/mm] sein soll, sonst hängt das in der Luft.
Wenn das M von unten die Menge der offenen Teilmengen von [mm] \IR [/mm] ist und
f: [mm] \IR [/mm] --> M mit f(r) := {x [mm] \in \IR [/mm] | x > r }, dann geht das doch, oder übersehe ich was in den Abgründen der Logik? Der Durchschnitt wäre dann [mm] \emptyset
[/mm]
> > 2. Kann man eine Indexmenge als eine Art Zählmenge
> > bezeichnen?
>
> > Nein, im allgemeinen leider nicht. Das liegt daran, dass
> wir unter "Zählmenge" sowas verstehen, was wir
> durchnummerieren können. Wir können "Nummern" (i.a. sind
> das natürliche Zahlen) verteilen, und erfassen damit jedes
> Objekt der Menge. Das klappt in [mm]\IN\,,[/mm] in [mm]\IZ[/mm] und in [mm]\IQ\,.[/mm]
> Spätestens wenn wir zu [mm]\IR[/mm] gelangen, können wir nicht
> mehr alle Elemente mithilfe solch einer "Nummerierung"
> erfassen (man sagt, dass [mm]\IR[/mm] "überabzählbar" ist). Einen
> Beweis dieser Tatsache kann man z.B. mittels des
> Cantorschen Diagonalverfahrens führen (man nimmt an, [mm]\IR[/mm]
> wäre doch "durchnummerierbar" und findet damit dann einen
> Widerspruch).
>
>
> Ich weiß jetzt was eine Indexmenge ist, frage mich jedoch
> wie ich sie einem anderen erklären könnte, wenn man sie
> nicht als Zählmenge bezeiechnen kann! Wie könnte man die
> Indexmenge in Worten beschreiben?
Ich bin kein Mengentheoretiker, würde aber so vorgehen:
Du hast eine Menge I und eine Menge M; die Elemente von M sind selbst wieder Mengen, also M = {A | A Menge}.
Eine Abbildung f: I --> M mit f(i) = [mm] A_i [/mm] indiziert dann eine (Teil-)Menge von M. In Worten vielleicht: Die Indexmenge ist der Definitionsbereich der Abbildung, die die Indices liefert.
Vielleicht sollte man bei Bourbaki, Théorie des ensembles nachlesen, was dort gesagt wird.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo,
Mit [mm] \IR [/mm] meine ich die reellen Zahlen. Ich glaube ebenfalls, dass der Durchschnitt [mm] \emptyset [/mm] ist. Dies erscheint mir irgendwie logisch, nur wo will man bei einer überabzählbaren Menge anfangen zu zählen?
Danke
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Stimmt dies: [mm] \[\bigcap\limits_{n\in \mathbb{N}}^{{}}{{{\mathbb{R}}_{n}}}=\left[ 0,1 \right]\]
[/mm]
Folgendermaßen kam ich zum Ergebnis: Gemäß der in der Verallgemeinerung vorkommenden Definition [mm] $A:I\to {{P}_{\left( M \right)}}$ [/mm] ist [mm] ${{A}_{1}}=\left[ 0,1 \right],{{A}_{2}}=\left[ 0,2 \right],{{A}_{3}}=\left[ 0,3 \right]$… [/mm]
Wenn man die ersten drei schneidet stellt man fest, dass das Intervall 0,1 überbleibt.
Wenn dies stimmt haben sich alle meine bisherigen Fragen geklärt. Wenn nicht, zeigt mir bitte wie man dieses Beispiel löst. Das mit den Intervallen ist mir spontan eingefallen um [mm] $A:I\to {{P}_{\left( M \right)}}$ [/mm] nachzuvollziehen (Das interpretiere ich sozusagen aus der Definition)
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Stimmt dies: [mm]\[\bigcap\limits_{n\in \mathbb{N}}^{{}}{{{\mathbb{R}}_{n}}}=\left[ 0,1 \right]\][/mm]
was ist denn [mm] $\IR_r$? [/mm]
Und dann ist bei Dir vermutlich [mm] $\IN=\IN_0\,,$ [/mm] da bei Dir $0 [mm] \in \IN$ [/mm] zu sein scheint...
> Folgendermaßen kam ich zum Ergebnis: Gemäß der in der
> Verallgemeinerung vorkommenden Definition
Worauf beziehst Du Dich hier? (Vielleicht steht es irgendwo, aber ich habe keine Lust, den ganzen Thread nochmal zu durchstöbern. Bitte gib' an, worauf Du Dich beziehst oder wiederhole das einfach nochmal genau, welche Definition Du meinst!)
> [mm]A:I\to {{P}_{\left( M \right)}}[/mm]
[mm] $P_{(M)}$ [/mm] bezeichnet bei Dir die Potenzmenge von [mm] $M\,$?
[/mm]
> ist [mm]{{A}_{1}}=\left[ 0,1 \right],{{A}_{2}}=\left[ 0,2 \right],{{A}_{3}}=\left[ 0,3 \right][/mm]…
> Wenn man die ersten drei schneidet stellt man fest, dass
> das Intervall 0,1 überbleibt.
Jedenfalls wäre das so kein Beweis. Beweisen würde man eine derartige Behauptung so:
Es gilt sowohl
[mm] $$1.)\;\;\;\[\bigcap\limits_{n\in \mathbb{N}}^{{}}{{{\mathbb{R}}_{n}}} \subseteq\left[ 0,1 \right]\]$$
[/mm]
als auch
[mm] $$2.)\;\;\;\left[ 0,1 \right] \subseteq \[\bigcap\limits_{n\in \mathbb{N}}^{{}}{{{\mathbb{R}}_{n}}}\,.$$
[/mm]
Dabei beweist man 1.) und 2.) dann separat.
> Wenn dies stimmt haben sich alle meine bisherigen Fragen
> geklärt. Wenn nicht, zeigt mir bitte wie man dieses
> Beispiel löst. Das mit den Intervallen ist mir spontan
> eingefallen um [mm]A:I\to {{P}_{\left( M \right)}}[/mm]
> nachzuvollziehen (Das interpretiere ich sozusagen aus der
> Definition)
>
> Danke
Gerne.
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Mi 08.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ...nur wo will man bei einer
> überabzählbaren Menge anfangen zu zählen?
der Name "überabzählbar" beinhaltet ja schon, dass das "Durchzählen" einer solchen Menge nicht möglich ist. (Anders formuliert: Es gibt keine Surjektion von [mm] $\IN$ [/mm] in eine überabzählbare Menge - äquivalent dazu: Es gibt keine Injektion einer überabzählbaren Menge in [mm] $\iN\,.$)
[/mm]
Allgemein sind Indexmengen übrigens irgendwelche Mengen, die nichts mit den "indizierten" gemeinsam haben müssen - es aber auch nicht verboten ist - sofern da dann nichts widersprüchliches oder "sinnfreies" konstruiert wird.
Und allgemein gilt in der Tat:
Ist [mm] $(A_i)_{i \in I}$ [/mm] eine Familie (nichtleerer) Mengen (wobei [mm] $I\,$ [/mm] (irgend-)eine (nichtleere Index-)Menge ist), so ist
[mm] $$\bigcap_{j \in I}A_j=\{x: x \in A_k \text{ für jedes }k \in I\}\,.$$
[/mm]
(Dieses "nichtleer" bzgl. der Mengen bei der Schnittdefinition kann man oben weglassen, aber der Schnitt wird uninteressant, wenn auch nur ein [mm] $A_{j_0}$ [/mm] leer ist [mm] ($j_0 \in [/mm] I$) - denn dann ist auch der Schnitt über alle [mm] $A_j$ [/mm] leer.)
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 08.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> Mit [mm]\IR[/mm] meine ich die reellen Zahlen.
ich denke, dass das (fast) jedem klar ist, was Du mit [mm] $\IR$ [/mm] meinst. Es ist eher die Frage, was [mm] $\IR_\red{r}$ [/mm] sein soll?
Ich kenne und benutze z.B. auch gerne [mm] $\IR_{\ge t}$ [/mm] mit
[mm] $$\IR_{\ge t}:=\{p \in \IR: p \ge t\}=[t,\infty)$$
[/mm]
für $t [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Wobei hier aber dies Symbol [mm] $\IR_{\ge t}$ [/mm] zwar schon fast selbsterklärend ist, aber es nicht (oder nicht soooo) gebräuchlich ist und man es daher separat definieren sollte.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 08.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 04.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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