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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Mo 20.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | [mm] \phi: [/mm] V -> W genau dann invertierbar wenn [mm] [\phi]_{CB} [/mm] invertierbar ist wobei [mm] [\phi^{-1}]_{BC} [/mm] = [mm] [\phi]^{-1}_{CB}
[/mm]
wobei C eine Basis von W und B eine Basis von V ist.
[mm] \phi_{B} :\IK^n [/mm] -> V
[mm] \phi_{C} [/mm] : [mm] \IK^m [/mm] -> W
[mm] [\phi]_{CB} \in M_{m \times n}
[/mm]
n= dim(V)
m = dim(W) |
Hallo,
[mm] \phi [/mm] invertierbar <=> [mm] \phi^{-1}_C \circ \phi \circ \phi_B [/mm] invertierbar (Isomorphismen immer invertierbar,und Multiplikation von invertierbaren Matrizen ist invertierbar also auch bei Abbildungen bzgl Komposition)<=> [mm] [\phi]_{CB} [/mm] invertierbare Matrix
Nun zu meiner Frage:
Wie kann ich [mm] (\phi^{-1}_C \circ \phi \circ \phi_B)^{-1} [/mm] ausrechnen?
Also wie invertiert man eine Komposition? Und wie leite ich mir die rechenregel her?
LG,
quasimo
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> Nun zu meiner Frage:
> Wie kann ich [mm](\phi^{-1}_C \circ \phi \circ \phi_B)^{-1}[/mm]
Hallo,
es ist [mm](\phi^{-1}_C \circ \phi \circ \phi_B)^{-1}[/mm][mm] =\phi_B^{-1}\circ\phi^{-1}\circ \phi_C,
[/mm]
denn es ist [mm](\phi^{-1}_C \circ \phi \circ \phi_B)\circ(\phi_B^{-1}\circ\phi^{-1}\circ \phi_C)=id_[/mm].
LG Angela
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