Abbildungen; Bijektivität(Bsp) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Zeigen sie, dass die folgende Abb. bijektiv ist und geben sie eine Umkehrabbildung an:
f: [mm] \mathbb{N} \to \mathbb{N}
[/mm]
k [mm] \mapsto [/mm] k-1, falls k+1 durch 4 teilbar ist |
Hallo!
Ich habe mir das so überlegt:
Bew. Injektivität:
[mm] f(\bruch{k_1 + 1}{4}) [/mm] = [mm] k_1 [/mm] - 1 = [mm] k_2 [/mm] - 1 = [mm] f(\bruch{k_2 + 1}{4})
[/mm]
[mm] \gdw k_1 [/mm] - 1 = [mm] k_2 [/mm] - 1 [mm] \gdw k_1 [/mm] - 1 + 1 = [mm] k_2 \gdw k_1 [/mm] = [mm] k_2
[/mm]
Bew. Surjektivität:
y = [mm] f(\bruch{k + 1}{4}) [/mm] = k - 1
=> k = y +1
=> [mm] f(\bruch{(y+1)+1)}{4}) [/mm] = (y+1) - 1 = y
Ist das Richtig?
Und die Umkehrabbildung ist dann entsprechend wohl:
k = [mm] \bruch{y+2}{4}
[/mm]
?
| Aufgabe 2 | Seien A, B Mengen und f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung. Zeigen sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(a) f ist injektiv
(b) Für alle C [mm] \subset [/mm] A gilt [mm] f^{-1}(f(C)) [/mm] = C
(c) Für alle C, D [mm] \in [/mm] A mit [mm] C\bigcap [/mm] D = [mm] \emptyset [/mm] gilt f(C) [mm] \bigcap [/mm] f(D) = [mm] \emptyset
[/mm]
(d) Für alle C, D [mm] \in [/mm] A gilt: f(C \ D) = f(C) \ f(D)
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Wie beweise ich die Äquivalenz?
Kann ich einfach von (b) nach (a), von (c) nach (a) und (d) nach (a) folgern?
Vielen Dank im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Mo 29.10.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Zeigen sie, dass die folgende Abb. bijektiv ist und geben
> sie eine Umkehrabbildung an:
>
> k [mm]\mapsto[/mm] k-1, falls k+1 durch 4 teilbar ist
Zu einer Abbildung gehören immer auch 2 Mengen: Definitionsbereich und Wertebereich. Ob eine Abb. surjektiv ist, hängt vom Wertebereich ab. Und hier fehlt anscheinend noch mehr, was ist denn mit den k's, für die k+1 nicht durch 4 teilbar ist?
> Ich habe mir das so überlegt:
>
> Bew. Injektivität:
>
> [mm]f(\bruch{k_1 + 1}{4})[/mm] = [mm]k_1[/mm] - 1 = [mm]k_2[/mm] - 1 = [mm]f(\bruch{k_2 + 1}{4})[/mm]
>
> [mm]\gdw k_1[/mm] - 1 = [mm]k_2[/mm] - 1 [mm]\gdw k_1[/mm] - 1 + 1 = [mm]k_2 \gdw k_1[/mm] =
> [mm]k_2[/mm]
Was ist denn dieses f?
> Bew. Surjektivität:
>
> y = [mm]f(\bruch{k + 1}{4})[/mm] = k - 1
>
> => k = y +1
>
> => [mm]f(\bruch{(y+1)+1)}{4})[/mm] = (y+1) - 1 = y
>
>
> Ist das Richtig?
Siehe meine Kritik oben.
> Seien A, B Mengen und f: A [mm]\to[/mm] B eine Abbildung. Zeigen sie
> die Äquivalenz folgender Aussagen:
>
> (a) f ist injektiv
>
> (b) Für alle C [mm]\subset[/mm] A gilt [mm]f^{-1}(f(C))[/mm] = C
>
> (c) Für alle C, D [mm]\in[/mm] A mit [mm]C\bigcap[/mm] D = [mm]\emptyset[/mm] gilt
> f(C) [mm]\bigcap[/mm] f(D) = [mm]\emptyset[/mm]
>
> (d) Für alle C, D [mm]\in[/mm] A gilt: [mm]f(C\D)[/mm] = f(C) \ f(D)
> Wie beweise ich die Äquivalenz?
>
> Kann ich einfach von (b) nach (a), von (c) nach (a) und (d)
> nach (a) folgern?
Nee, so nich! Aber du kannst z. B. von (a) nach (b) nach (c) nach (d) nach (a) gehen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Danke!
Habs editiert:
f: [mm] \mathbb{N} \to \mathbb{N}
[/mm]
Zur 2ten Aufgabe:
Wie kann ich denn von (c) nach (d) folgern? Zwischen den Aussagen besteht doch kein brauchbarer Zusammenhang. Oder ich sehe ihn zumindest nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Di 30.10.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Zur 2ten Aufgabe:
>
> Wie kann ich denn von (c) nach (d) folgern? Zwischen den
> Aussagen besteht doch kein brauchbarer Zusammenhang. Oder
> ich sehe ihn zumindest nicht.
(d) kann so, wie es in der Aufgabe steht, nicht richtig sein, nimm einfach C = D, aber nicht leer.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:48 Di 30.10.2007 | | Autor: | DieMuhKuh |
Guten Morgen.
Oh. Es sollte f( C \ D) = f(C) \ f(D) heißen. \ D wurde von der Forensoftware irgendwie verschluckt.
Wie siehts denn mit der Aufgabe "k [mm] \mapsto [/mm] k-1 für k+1 durch 4 teilbar" aus? Außer meiner Lösung - die mir aber nicht richtig erscheint - fällt mir dazu nichts brauchtbares ein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Di 30.10.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> Zeigen sie, dass die folgende Abb. bijektiv ist und geben
> sie eine Umkehrabbildung an:
>
> f: [mm]\mathbb{N} \to \mathbb{N}[/mm]
>
> k [mm]\mapsto[/mm] k-1, falls k+1 durch 4 teilbar ist
Das ist so immer noch nicht vernünftig definiert: Was ist denn das Bild von 5 unter f?
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:06 Di 30.10.2007 | | Autor: | DieMuhKuh |
Das durcheinander tut mir Leid. Ich wollte eigentlich so wenig Leseaufwand wie möglich bereiten.
Hier ist die komplette Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
http://img147.imageshack.us/my.php?image=aufgabelapn8.jpg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 Di 30.10.2007 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Das durcheinander tut mir Leid. Ich wollte eigentlich so
> wenig Leseaufwand wie möglich bereiten.
Aber Aufgaben sollte man schon vollständig niederschreiben, sonst hat das die hier aufgetretenen Folgen.
> Hier ist die komplette Aufgabe:
>
> http://img147.imageshack.us/my.php?image=aufgabelapn8.jpg
Dein Beweisversuch oben ist ganz und gar unzulänglich. Ich schlage vor, daß du dir zur Verdeutlichung der Lage zunächst mal die Bilder der Zahlen von 1 bis 10 aufschreibst und schaust, ob da irgendein System für dich erkennbar wird. Für die Surjektivität müßtest du nachweisen, daß alle Zahlen aus [mm] \IN [/mm] als Bilder auftauchen. Also mußt du für eine beliebige Zahl r aus [mm] \IN [/mm] nachweisen, daß sie Bild einer Zahl s aus [mm] \IN [/mm] ist. Wenn du jetzt in deine Liste guckst, siehst du vielleicht eher, wie die Urbilder aussehen und kannst eine allgemeine Vorschrift herleiten. Diese Regel zum Finden des Urbildes hängt von gewissen Eigenschaften von r ab.
Gruß
Dieter
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Vielen Dank! Mit den Umkehrabbildungen hats damit auf Anhieb geklappt:
| Aufgabe 1 |
| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... (Urbildmenge)
-----------------------------------------------
| 0 4 8 12 16 20 ... (Bildmenge für 2k) |----------------------------------------------
| 2 6 ... (Bildmenge für k-1)
|----------------------------------------------
| 1 3 5 ... (Bildmenge für (k+1)/2)
|----------------------------------------------
Ich hab die Tabelle noch etwas weiter geführt und habe dann folgendes bekommen:
[mm] f^{-1}(0) \mapsto [/mm] 0
[mm] f^{-1}(4) \mapsto [/mm] 2
[mm] f^{-1}(8) \mapsto [/mm] 4
Umkehrabbildung also: [mm] \textcolor{red}{f^{-1}(k)} \mapsto \bruch{k}{2} [/mm] für k teilbar durch 4
[mm] f^{-1}(1) \mapsto [/mm] 1
[mm] f^{-1}(5) \mapsto [/mm] 9
[mm] f^{-1}(7) \mapsto [/mm] 13
[mm] f^{-1}(9) \mapsto [/mm] 17
Umkehrabbildung: [mm] \textcolor{red}{f^{-1}(k)} \mapsto [/mm] 2k-1 für k+1 teilbar durch 2
[mm] f^{-1}(2) \mapsto [/mm] 3
[mm] f^{-1}(6) \mapsto [/mm] 7
[mm] f^{-1}(10) \mapsto [/mm] 11
Umkehrabbildung: [mm] \textcolor{red}{f^{-1}(k)} \mapsto [/mm] k+1 für k-1 teilbar durch 2
Also insgesamt:
[mm] \textcolor{red}{f^{-1}(k)} \mapsto \begin{cases} k, & \mbox{für } k \mbox{ ist teilbar durch 4} \\ 2k -1, & \mbox{für } k+1 \mbox{ teilbar durch 2} \\ k+1, & \mbox{für } k-1 \mbox{ teilbar durch 2} \end{cases}
[/mm]
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Ist das rot markierte die richtige Notation für die gemeinten Umkehrabbildungen?
Muss ich ferner beweisen, dass die entsprechenden Umkehrabbildungen auch richtig sind?
Und nochmal das leidige Thema 'Beweis' von Bijektivität:
Um zu beweisen, dass meine Abbildung
[Dateianhang nicht öffentlich]
bijektiv ist, muss ich doch zeigen, dass
k [mm] \mapsto [/mm] 2k, für k gerade [mm] \textcolor{blue}{bijektiv} [/mm]
k [mm] \mapsto [/mm] k-1, für k+1 teilbar durch 4 [mm] \textcolor{blue}{bijektiv}
[/mm]
k [mm] \mapsto [/mm] (k+1)/2, für k-1 teilbar durch 4 [mm] \textcolor{blue}{bijektiv}
[/mm]
ist. Oder?
Wäre der Beweis dann so richtig:
| Aufgabe 2 |
Bew: k [mm] \mapsto [/mm] 2k, für k gerade ist bijektiv
Bew. Surjektivität:
Es gilt: [mm] f^{-1}(k) [/mm] = [mm] \bruch{k}{2} \in f^{-1}(\mathbb{N}). [/mm]
Dann ist [mm] f((f^{-1}(k)) [/mm] = [mm] f(\bruch{k}{2}) [/mm] = [mm] 2*\bruch{k}{2} [/mm] = k [mm] \in f(\mathbb{N}).
[/mm]
(Injektiv. ist mir klar)
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Ist das der Form nach richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Mi 31.10.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Vielen Dank! Mit den Umkehrabbildungen hats damit auf
> Anhieb geklappt:
>
>
>
> | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
> (Urbildmenge)
> -----------------------------------------------
> | 0 4 8 12 16 20 ...
> (Bildmenge für 2k)
> |----------------------------------------------
> | 2 6 ...
> (Bildmenge für k-1)
> |----------------------------------------------
> | 1 3 5 ...
> (Bildmenge für (k+1)/2)
> |----------------------------------------------
>
>
> Ich hab die Tabelle noch etwas weiter geführt und habe dann
> folgendes bekommen:
>
> [mm]f^{-1}(0) \mapsto[/mm] 0
> [mm]f^{-1}(4) \mapsto[/mm] 2
> [mm]f^{-1}(8) \mapsto[/mm] 4
>
> Umkehrabbildung also: [mm]\textcolor{red}{f^{-1}(k)} \mapsto \bruch{k}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> für k teilbar durch 4
oder k \equiv 0 mod 4
f^{-1}(k) ist das Bild von k unter f^{-1}, also muß das heißen f^{-1}(k)} = \bruch{k}{2}. Diesen Fehler machst du durchgehend.
> [mm]f^{-1}(1) \mapsto[/mm] 1
[mm] f^{-1}(3) [/mm] = 5
> [mm]f^{-1}(5) \mapsto[/mm] 9
> [mm]f^{-1}(7) \mapsto[/mm] 13
> [mm]f^{-1}(9) \mapsto[/mm] 17
>
> Umkehrabbildung: [mm]\textcolor{red}{f^{-1}(k)} \mapsto[/mm] 2k-1
> für k+1 teilbar durch 2
oder k [mm] \equiv [/mm] 1 oder 3 mod 4
>
> [mm]f^{-1}(2) \mapsto[/mm] 3
> [mm]f^{-1}(6) \mapsto[/mm] 7
> [mm]f^{-1}(10) \mapsto[/mm] 11
>
> Umkehrabbildung: [mm]\textcolor{red}{f^{-1}(k)} \mapsto[/mm] k+1 für
> k-1 teilbar durch 2
für k teilbar durch 2, aber nicht durch 4 (oder k [mm] \equiv [/mm] 2 mod 4)
> Also insgesamt:
>
> [mm]\textcolor{red}{f^{-1}(k)} \mapsto \begin{cases} k, & \mbox{für } k \mbox{ ist teilbar durch 4} \\ 2k -1, & \mbox{für } k+1 \mbox{ teilbar durch 2} \\ k+1, & \mbox{für } k-1 \mbox{ teilbar durch 2} \end{cases}[/mm]
Das mußt du jetzt an meine Korrekturen anpassen.
> Ist das rot markierte die richtige Notation für die
> gemeinten Umkehrabbildungen?
Es handelt sich hier nicht um mehrere Umkehrabbildungen, sondern du hast jetzt eine Abb. [mm] f^{-1} [/mm] definiert, von der du nachweisen mußt, daß es die Umkehrabbildung ist.
> Muss ich ferner beweisen, dass die entsprechenden
> Umkehrabbildungen auch richtig sind?
>
>
>
> Und nochmal das leidige Thema 'Beweis' von Bijektivität:
Das kannst du auf 2 Arten anpacken: Du weist explizit die Injektivität und die Surjektivität nach, oder du zeigst, daß es eine Umkehrabb8ildung [mm] f^{-1} [/mm] mit f [mm] \circ f^{-1} [/mm] = [mm] f^{-1} \circ [/mm] f = id gibt.
> Um zu beweisen, dass meine Abbildung
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> bijektiv ist, muss ich doch zeigen, dass
>
> k [mm]\mapsto[/mm] 2k, für k gerade
> [mm]\textcolor{blue}{bijektiv}[/mm]
> k [mm]\mapsto[/mm] k-1, für k+1 teilbar durch 4
> [mm]\textcolor{blue}{bijektiv}[/mm]
> k [mm]\mapsto[/mm] (k+1)/2, für k-1 teilbar durch 4
> [mm]\textcolor{blue}{bijektiv}[/mm]
>
> ist. Oder?
>
> Wäre der Beweis dann so richtig:
>
>
>
> Bew: k [mm]\mapsto[/mm] 2k, für k gerade ist
> bijektiv
Das ist doch gar nicht die ganze Abbildung. Das ist die Einschränkung der gegebenen Abb. auf die Teilmenge der geraden Zahlen.
> Bew. Surjektivität:
> Es gilt: [mm]f^{-1}(k)[/mm] = [mm]\bruch{k}{2} \in f^{-1}(\mathbb{N}).[/mm]
>
> Dann ist [mm]f((f^{-1}(k))[/mm] = [mm]f(\bruch{k}{2})[/mm] = [mm]2*\bruch{k}{2}[/mm] =
> k [mm]\in f(\mathbb{N}).[/mm]
>
>
> (Injektiv. ist mir klar)
>
>
>
> Ist das der Form nach richtig?
Noch lange nicht, siehe meine diversen Bemerkungen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo!
Ich würde gern das Thema noch ein letztes Mal aufwärmen:
Wir haben ja jetzt unsere Umkehrabbildung mit:
k [mm] \mapsto \begin{cases} \bruch{k}{2}, & \mbox{für } k \mbox{ ist teilbar durch 4} \\ k+1, & \mbox{für } k-1 \mbox{ teilbar durch 2, aber nicht durch 4}\\ 2k -1, & \mbox{für } k \mbox{ teilbar durch 2, aber nicht durch 4} \end{cases}
[/mm]
Nun, wie du vorgeschlagen hast, will ich beweisen:
f [mm] \circ f^{-1} [/mm] = [mm] f^{-1} \circ [/mm] f = id
(f [mm] \circ f^{-1})(k) [/mm] = [mm] f((f^{-1}(k)) [/mm] = [mm] f(\begin{cases} \bruch{k}{2}, & \mbox{für } k \mbox{ ist teilbar durch 4} \\ k+1, & \mbox{für } k-1 \mbox{ teilbar durch 2, aber nicht durch 4}\\ 2k -1, & \mbox{für } k \mbox{ teilbar durch 2, aber nicht durch 4} \end{cases}) [/mm]
= [mm] \begin{cases} 2*\bruch{k}{2}, & \mbox{für } k \mbox{ ist gerade} \\ k+1-1, & \mbox{für } k+1 \mbox{ teilbar durch 4} \\ \bruch{2k -1+1}{2}, & \mbox{für } k-1 \mbox{ teilbar durch 4} \end{cases}
[/mm]
= [mm] \begin{cases} k, & \mbox{für } k \mbox{ ist gerade} \\ k, & \mbox{für } k+1 \mbox{ teilbar durch 4} \\ k, & \mbox{für } k-1 \mbox{ teilbar durch 4} \end{cases}
[/mm]
= [mm] (f^{-1} \circ [/mm] f)(k) = [mm] f^{-1}(f(k)) [/mm] = .... = [mm] \begin{cases} k, & \mbox{für } k \mbox{ ist teilbar durch 4} \\ k, & \mbox{für } k-1 \mbox{ teilbar durch 2, aber nicht durch 4}\\ k , & \mbox{für } k+\mbox{ teilbar durch 2, aber nicht durch 4} \end{cases} [/mm]
= id
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 So 04.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
Die Abb. f sieht doch so aus:
[mm] \pmat{ k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & ... \\ f(k) & 1 & 4 & 2 & 8 & 3 & 12 & 6 & 16 & ... }
[/mm]
> Wir haben ja jetzt unsere Umkehrabbildung mit:
>
> k [mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{k}{2}, & \mbox{für } k \mbox{ ist teilbar durch 4} \\ k+1, & \mbox{für } k-1 \mbox{ teilbar durch 2, aber nicht durch 4}\\ 2k -1, & \mbox{für } k \mbox{ teilbar durch 2, aber nicht durch 4} \end{cases}[/mm]
Dann ist die richtige Umkehrabbildung [mm] f^{-1}
[/mm]
k [mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{k}{2}, & \mbox{für } k \mbox{ ist teilbar durch 4} \\ k+1, & \mbox{für } k \mbox{ teilbar durch 2, aber nicht durch 4}\\ 2k -1, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
> Nun, wie du vorgeschlagen hast, will ich beweisen:
>
> f [mm]\circ f^{-1}[/mm] = [mm]f^{-1} \circ[/mm] f = id
Das ist OK!
> (f [mm]\circ f^{-1})(k)[/mm] = [mm]f((f^{-1}(k))[/mm] = [mm]f(\begin{cases} \bruch{k}{2}, & \mbox{für } k \mbox{ ist teilbar durch 4} \\ k+1, & \mbox{für } k-1 \mbox{ teilbar durch 2, aber nicht durch 4}\\ 2k -1, & \mbox{für } k \mbox{ teilbar durch 2, aber nicht durch 4} \end{cases})[/mm]
(f [mm]\circ f^{-1})(k)[/mm] = [mm]f((f^{-1}(k))[/mm] = [mm]f(\begin{cases} \bruch{k}{2}, & \mbox{für } k \mbox{ ist teilbar durch 4} \\ k+1, & \mbox{für } k \mbox{ teilbar durch 2, aber nicht durch 4}\\ 2k -1, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases})[/mm]
Und jetzt solltest du die 3 Fälle aufdröseln! Wenn k durch 4 teilbar ist, dann ist [mm] \bruch{k}{2} [/mm] gerade und folglich f(k/2) = 2*(k/2) = k.
Ebenso bei den anderen Fällen. Wenn du mit Kongruenzen umgehen kannst, dann kannst du sortieren nach k [mm] \equiv [/mm] 0 mod 4, k [mm] \equiv [/mm] 2 mod 4 und k [mm] \equiv [/mm] 1 oder 3 mod 4. Das sieht professioneller aus!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 31.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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