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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Phoebe |
Nochmal eine alte Prüfungsfrage:
Es seien q [mm] \varepsilon [/mm] N, q [mm] \ge [/mm] 1 und A: [mm] R^{q} \to [/mm] R durch A [mm] (\vektor{x_{1} \\ \vdots \\ x_{q}}) [/mm] := [mm] x_{1}+...+x_{q} [/mm] gegeben.
Zeigen Sie: A ist surjektiv
Berechnen Sie [mm] \dim_{R}(Kern( [/mm] A )).
Geben Sie eine Basis von Kern(A) an (mit Beweis).
Wie zeige ich auch im allgemeinen, dass eine Abbildung injektiv oder surjektiv ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Phoebe.
Welche Frage(n) hast du zu der dir gestellten Aufgabe? Die Surjektivität sollte klar, sein oder? Was sehr wichtig ist, sowohl für die Aufgabe als auch für die von dir gestellte zusätzliche Frage, ist der Homomorphiesatz. Ist [mm] $f:V\to [/mm] W$ ein Vektorraumhomomorphismus,dann ist der Faktorraum $V/Ker(f)$ zu $Bild(f)$ isomorph. Es folgt $dim(V/Ker(f))=dim(V)-dim(Ker(f))=dim(Bild(f))$, also $dim(V)=dim(Ker(f))+dim(Bild(f))$. Wenn nun in deinem Beispiel die Abbildung surjektiv ist, heißt dies [mm] $dim(Bild(f))=dim(\IR)=1$, [/mm] also $dim(Ker(f))=dim(V)-1=q-1$.
Bei Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraumes in sich kannst du dir merken, dass Injektivität und Surjektivität äquivalent sind (folgt aus der obigen Dimensionsformel).
Schaffst du die Bestimmung der Basis des Kernes selbst?
Liebe Grüße,
Hanno
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