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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Dhamo |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich grüße alle.
Ich habe diese Aufgabe:
Man zeige: eine Abbilbung [mm] \delta [/mm] : M [mm] \to [/mm] M einer endlichen Menge in sich ist genau dann surjektiv, wenn Sie injektiv ist.(Induktion!)
Hier sollte man Iduktion benutzen, um um das zu zeigen.
Kann jemmand mir erklären wie das überhaupt mit Induktion gehen sollte.
Nur ein Paar Tips wären hilfreich
Tschüss
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Hallo dhamo,
ich würde ein etwas allgemeineres Resultat zeigen, dann klappt's auch mit der Induktion. Ich skizziere den Beweis mal, die Hauptarbeit überlasse ich dir... 
Behauptung:
Seien $M$ und $N$ zwei Mengen gleicher endlicher Mächtigkeit und sei [mm] $\delta:\ M\to [/mm] N$ eine Abbildung. Dann ist [mm] $\delta$ [/mm] genau dann surjektiv, wenn sie injektiv ist.
Beweis:
Der Induktionsanfang ist leicht: Wenn $|M|=|N|=1$, dann gibt es sowieso nur eine Abbildung von $M$ nach $N$. Und die ist bijektiv.
Angenommen, das Resultat sei für [mm] $|M|=|N|\le [/mm] n$ bereits gezeigt.
Sei nun $|M|=|N|=n+1$.
Falls [mm] $\delta$ [/mm] injektiv ist:
Wähle ein beliebiges [mm] $x\in [/mm] M$. Dann sind [mm] $M_1:=M\setminus \{x\}$ [/mm] und [mm] $N_1:=N\setminus\{\delta(x)\}$ [/mm] Mengen der Mächtigkeit $n$. Und [mm] $\delta_{|M_1}:\ M_1\to N_1$ [/mm] ist wohldefiniert und injektiv...
Falls [mm] $\delta$ [/mm] surjektiv ist:
Wähle ein beliebiges [mm] $y\in [/mm] N$. Dann sind [mm] $M_2:=M\setminus\delta^{-1}(\{y\})$ [/mm] und [mm] $N_2:=N\setminus \{y\}$ [/mm] Mengen, wobei [mm] $|N_2|=n$ [/mm] und [mm] $|M_2|\le [/mm] n$. Jetzt musst du noch zeigen, dass [mm] $|M_2|=n$ [/mm] ist. Fällt dir dafür etwas ein?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Di 17.05.2005 | | Autor: | Dhamo |
Hallo Banachella!
Vielen Dank für die Antwort.
Ich habe,dass so gedacht:| [mm] M_{2} [/mm] | = n, weil die Abbildung [mm] \delta [/mm] Surjektiv ist und für jeder y von | [mm] N_{2} [/mm] | sollte mindestens ein x von | [mm] M_{2} [/mm] | geben. [mm] \Rightarrow [/mm] | N | = | M | = n
Soll ich noch etwas beweisen oder genügt das???
Viele Grüße
Dhamo
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Es ist die Surjektivität! Jetzt kannst du die Induktionsvoraussetzung anwenden.
