Abbildungen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Es sei D={1,2} und B={3,4}. Gibt es eine injektive Funktion f:D->B, die nicht bijektiv ist? |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Hallo,
bei der Aufgabe ist doch Voraussetzung, dass es sich um eine Funktion handelt, die Relation linkstotal und rechtseindeutig ist. D. h. doch, dass von 1 und 2 Pfleile wegführen(linkstotal) müssen und jeweils nur ein Pfeil wegführt(rechtseindeutig).
Prüfe ich jetzt noch auf Linkseindeutigkeit(3 und 4 werden nur einmal getroffen) komme ich zu der Lösung, dass es nicht möglich ist, die ersten 3 Bedingungen zu erfüllen, so dass 3 oder 4 nicht getroffen wird.
Lt. Lösung gilt das aber für f(x)={(2,3)}. Dann handelt es sich doch aber nicht um eine Funktion, da die Relation nicht linkstotal ist.
Stimmt die Lösung etwa und wenn ja warum?
mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei D={1,2} und B={3,4}. Gibt es eine injektive Funktion
> f:D->B, die nicht bijektiv ist?
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> Hallo,
>
> bei der Aufgabe ist doch Voraussetzung, dass es sich um
> eine Funktion handelt, die Relation linkstotal und
> rechtseindeutig ist. D. h. doch, dass von 1 und 2 Pfleile
> wegführen(linkstotal) müssen und jeweils nur ein Pfeil
> wegführt(rechtseindeutig).
> Prüfe ich jetzt noch auf Linkseindeutigkeit(3 und 4 werden
> nur einmal getroffen) komme ich zu der Lösung, dass es
> nicht möglich ist, die ersten 3 Bedingungen zu erfüllen, so
> dass 3 oder 4 nicht getroffen wird.
>
> Lt. Lösung gilt das aber für [mm] $f(x)=\{(2,3)\}$. [/mm] Dann handelt es
> sich doch aber nicht um eine Funktion, da die Relation
> nicht linkstotal ist.
> Stimmt die Lösung etwa und wenn ja warum?
Wenn man den Begriff `Funktion' etwas ausdehnt und damit auch partiell definierte Funktionen meint, dann stimmt die Loesung. Andernfalls stimmt sie nicht: Eine (vollstaendig definierte) injektive Funktion $f : A [mm] \to [/mm] B$ mit zwei endlichen Mengen $A, B$ mit $|A| = |B|$ ist immer auch surjektiv. (Genauer: Fuer Funktionen zwischen zwei solchen Mengen sind die Eigenschaften `injektiv' und `surjektiv' aequivalent.)
LG Felix
|
|
|
|
