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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 So 08.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
| Aufgabe | f: X [mm] \to [/mm] Y
f ist surjektiv [mm] \gdw [/mm] es existiert ein g: Y [mm] \to [/mm] X : (f [mm] \circ [/mm] g) = [mm] id_{x}
[/mm]
Entscheiden sie außerdem mithilfe eines Beweises oder Gegenbeispiel ob g eindeutig bestimmt ist |
f ist surjektiv f: X [mm] \to [/mm] Y
[mm] \Rightarrow [/mm] für alle y [mm] \in [/mm] Y existiert ein x [mm] \in [/mm] X mit f(x)=y
[mm] \gdw [/mm] (f [mm] \circ [/mm] g) :=f(g(y)) mit g(y)=x für alle x [mm] \in [/mm] existiert ein y [mm] \in [/mm] Y
f(g(y)=y einsetzen von g(y)=x [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=y
Außerdem ist g nicht eindeutig bestimmtbar, da jedes g mit g(y)=x diese Lösung angibt.
Mein Unsicherheit liegt daran das dort steht (f [mm] \circ [/mm] g) = [mm] id_{x} [/mm] und ich [mm] id_{y}=y [/mm] setze. Ist dies richtig? oder müss ich was anders wählen. Und ich beweise ja die eindeutigkeit von g nur mit meiner aussage.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 So 08.11.2015 | | Autor: | chrisno |
> f: X [mm]\to[/mm] Y
> f ist surjektiv [mm]\gdw[/mm] es existiert ein g: Y [mm]\to[/mm] X : (f
> [mm]\circ[/mm] g) = [mm]id_{x}[/mm]
> Entscheiden sie außerdem mithilfe eines Beweises oder
> Gegenbeispiel ob g eindeutig bestimmt ist
> f ist surjektiv f: X [mm]\to[/mm] Y
> [mm]\Rightarrow[/mm] für alle y [mm]\in[/mm] Y existiert ein x [mm]\in[/mm] X mit
> f(x)=y
Das ist die Definition von surjektiv
Ab nun verstehe ich nichts mehr. Was machst Du nun? Habt ihr das [mm] $\gdw$ [/mm] schon gezeigt?
> [mm]\gdw[/mm] (f [mm]\circ[/mm] g) :=f(g(y)) mit g(y)=x für alle x [mm]\in[/mm]
> existiert ein y [mm]\in[/mm] Y
> f(g(y)=y einsetzen von g(y)=x [mm]\Rightarrow[/mm] f(x)=y
> Außerdem ist g nicht eindeutig bestimmtbar, da jedes g mit
> g(y)=x diese Lösung angibt.
Es kann ja sein, dass nur ich das nicht verstehe.
Ich meine, Du musst eine Äquivalenz zeigen. Wenn Du Glück hast, kannst Du beide Richtungen in einem Rutsch zeigen. Das sehe ich hier nicht.
Also:
I wie folgt aus der Surjektivität die Existenz der Funktion g?
II Wie folgt aus der Existenz von g, dass f surjektiv ist?
Der abschließende Teil behandelt dann die Eindeutigkeit von g. Falls g nicht eindeutig ist, dann suche ein Gegenbeispiel. Ich meine eines gefunden zu haben. Das kann aber verkehrt sein, ich bin aus diesen Überlegungen seit über 30 Jahren raus.
> Mein Unsicherheit liegt daran das dort steht (f [mm]\circ[/mm] g) =
> [mm]id_{x}[/mm] und ich [mm]id_{y}=y[/mm] setze. Ist dies richtig? oder müss
> ich was anders wählen. Und ich beweise ja die
> eindeutigkeit von g nur mit meiner aussage.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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