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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
| Aufgabe | Betrachten Sie dei Abbildung f: [mm] \IC^{\times} \to \IR^{\times}, [/mm] a+bi [mm] \mapsto \wurzel{a^2 + b^2}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist.
b) Bestimmen Sie im(f) und ker(f).
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Hallihallo!
Also, aufgabenteil a) ist ja kein Problem, einfach 2 Elemente nehmen und zeigen f(x*y*)=f(x)*f(y).
Das hab ich problemlos hinbekommen.
Bei b) hab ich schon irgendwie Probleme... Ich bin mit Komplexen Zahlen noch nie so auf einem grünen Zweig gewesen, aber naja.
Bzgl des Bildes hab ich mir gedacht, dass es eigentlich [mm] \IR^{+} [/mm] sein müsste. Weil egal was man abbildet, es wird auf jeden Fall positiv und die 0 ist auch nicht drin, weil [mm] \IC^{\times} [/mm] = [mm] \IC \backslash [/mm] {0} ist... Aber beim Kern bin ich irgendwie überfordert. Es muss ja einen Kern geben... Also, Kern ist ja wie folgt definiert: ker(f) = {u [mm] \in [/mm] G | [mm] f(u)=e_{H}} [/mm] mit [mm] G=\IC^{\times} [/mm] und H= [mm] \IR^{\times}. [/mm]
Im Prinzip ist das doch x=1 und y=1*i, oder? Weil für die gilt: [mm] f(x)=\wurzel{1^2 + 0} [/mm] = 1 und f(y) = [mm] \wurzel{0 + 1^2} [/mm] = 1. Also gilt: ker(f)={1, i}?!?!
Wäre super, wenn ihr mir helfen könntet, denn das brauche ich auf jeden Fall richtig, weil die Aufgabe noch weiter geht und ich dann die Nebenklassen vom Kern betrachten soll & dazu brauch ich ja den kern...
Vlg, und danke schonmal
Kiki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
Also beim Kern müsste ich jetzt die Lösung haben: ker={1,-1,i,-i}.
Aber beim Bild komm ich nicht weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Sa 11.11.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Kiki,
>
> Bei b) hab ich schon irgendwie Probleme... Ich bin mit
> Komplexen Zahlen noch nie so auf einem grünen Zweig
> gewesen, aber naja.
> Bzgl des Bildes hab ich mir gedacht, dass es eigentlich
> [mm]\IR^{+}[/mm] sein müsste. Weil egal was man abbildet, es wird
> auf jeden Fall positiv und die 0 ist auch nicht drin, weil [mm]\IC^{\times} = \IC \setminus \{0\} [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist...
Damit hast Du dann ja schon mal im(f)\subeteq\IR^+ gezeigt. Jetzt müsstest Du eben noch zeigen, dass jeder Wert aus \IR^+ auch als Bild vorkommt (Tipp: betrachte doch mal alle komplexen Zahlen mit b=0).
>Aber beim Kern bin
> ich irgendwie überfordert. Es muss ja einen Kern geben...
> Also, Kern ist ja wie folgt definiert: ker(f) = {u [mm]\in[/mm] G |
> [mm]f(u)=e_{H}}[/mm] mit [mm]G=\IC^{\times}[/mm] und H= [mm]\IR^{\times}.[/mm]
> Im Prinzip ist das doch x=1 und y=1*i, oder? Weil für die
> gilt: [mm]f(x)=\wurzel{1^2 + 0}[/mm] = 1 und f(y) = [mm]\wurzel{0 + 1^2}[/mm]
> = 1. Also gilt: ker(f)={1, i}?!?!
Die beiden sind schon mal richtig, allerdings gibt es noch mehr - das hast Du ja in Deiner anderen Mitteilung auch schon bemerkt und die Menge auf 4 Elemente erweitert. Ich gehe allerdings noch weiter und sage ker(f) besteht aus unendlich vielen Elementen.
Eigentlich musst Du doch nur die Gleichung aus Deiner Kern-Definition hinschreiben:
[mm]f(a+bi) = \sqrt{a^2+b^2} = 1[/mm]
und die müsstest Du nach a und b auflösen. In diesem Fall kommt dabei allein durch Rechnung kein "schönes" Ergebnis raus - aber welche Menge beschreibt denn die Gleichung [mm] \sqrt{a^2+b^2}=1 [/mm] ??
> Wäre super, wenn ihr mir helfen könntet, denn das brauche
> ich auf jeden Fall richtig, weil die Aufgabe noch weiter
> geht und ich dann die Nebenklassen vom Kern betrachten soll
> & dazu brauch ich ja den kern...
>
> Vlg, und danke schonmal
> Kiki
Gruß
piet
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| Aufgabe | | c) Bestimmen Sie die Nebenklassen von H := ker(f) in [mm] \IC^{\times} [/mm] und beschreiben Sie sie gemetrisch. |
Also das wäre die nächste Teilaufgabe. An diese konnte ich mich vorher noch nicht so recht wagen. Ich denke, dass der ker(f) ein Kreis mit dem Radius 1 um 0 ist (also nur der Rand - Umfang). Aber ich hab mir folgendes gedacht (vielleicht kann mir jemand sagen, ob das richtig ist):
Man kennt ja zum einen Rechts- bzw. Linksnebenklassen mit Hx bzw. xH für [mm] x\in G=\IC^{\times} [/mm] . Also kann man für x=a + bi 4 Fälle unterscheiden:
1. Fall: a>0 und b>0 ==> Radius des Kreises wird größer
2. Fall: a<0 und b<0 ==> Radius d. kreises wird kleiner
3. fall: a<0 und b>0 ==> Kreis wird zur Ellipse und "steht" auf reellen Achse (wie ein Ei im Eierbecher - ich weiß nicht wie ich's besser ausdrücken soll *gg*)
4. Fall: a>0 und b<0 ==> Ellipse "liegt" auf reellen Achse
Stimmt das so weit?
Vlg Kiki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mo 13.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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