Abbildung surjektiv < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi
Ich habe folgende Frage
Es sei f:V-->W eine lineare Abbildung. Man zeige:
Sei W endlich dimensional. Dann gilt Rang(f) = dimW genau dann, wenn f surjektiv ist. |
Ok ich weiß nicht genau wie ich da ran gehen soll:
Der Rang ist doch definiert als rang(f) = dim(im(f))
Dann nehme ich die lineare Abbildung [mm] f(v_i)=w_i [/mm] für i= 1,2,....n. Dies ist doch eindeutig eine Abbildung auf das Bild.
Desweiteren kann ich aber sagen, dass jedes (mindestens) [mm] w_i [/mm] ein Urbild hat, nämlich [mm] v_i. [/mm] -> Surjektiv.
Was sagt ihr dazu?
Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Di 14.02.2012 | | Autor: | Stoecki |
> Hi
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> Ich habe folgende Frage
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> Es sei f:V-->W eine lineare Abbildung. Man zeige:
>
> Sei W endlich dimensional. Dann gilt Rang(f) = dimW genau
> dann, wenn f surjektiv ist.
> Ok ich weiß nicht genau wie ich da ran gehen soll:
>
> Der Rang ist doch definiert als rang(f) = dim(im(f))
stimmt
>
> Dann nehme ich die lineare Abbildung [mm]f(v_i)=w_i[/mm] für i=
> 1,2,....n. Dies ist doch eindeutig eine Abbildung auf das
> Bild.
mach es dir einfacher. deine [mm] v_i [/mm] seinen basisvektoren. dann fängst du mit der richtung "=>"
es gilt also dim(Im(f) = dim(W). was ist dann mit den [mm] w_i?
[/mm]
>
> Desweiteren kann ich aber sagen, dass jedes (mindestens)
> [mm]w_i[/mm] ein Urbild hat, nämlich [mm]v_i.[/mm] -> Surjektiv.
mach das nicht alles in einem schritt sondern spalte solche überlegungen in die rückrichtung ab. ich denke hier wäre die kontraposition interessant. also:
"<="
sei dim(Im(f)) [mm] \not= [/mm] dim(W) (also gilt <) was gilt denn dann für W \ Im(f)?
>
> Was sagt ihr dazu?
> Danke :)
Gruß Bernhard
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Di 14.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hi
> >
> > Ich habe folgende Frage
> >
> > Es sei f:V-->W eine lineare Abbildung. Man zeige:
> >
> > Sei W endlich dimensional. Dann gilt Rang(f) = dimW genau
> > dann, wenn f surjektiv ist.
> > Ok ich weiß nicht genau wie ich da ran gehen soll:
> >
> > Der Rang ist doch definiert als rang(f) = dim(im(f))
>
> stimmt
>
> >
> > Dann nehme ich die lineare Abbildung [mm]f(v_i)=w_i[/mm] für i=
> > 1,2,....n. Dies ist doch eindeutig eine Abbildung auf das
> > Bild.
>
> mach es dir einfacher. deine [mm]v_i[/mm] seinen basisvektoren.
Wer sagt, dass dim V < [mm] \infty [/mm] ist ?
FRED
> dann
> fängst du mit der richtung "=>"
> es gilt also dim(Im(f) = dim(W). was ist dann mit den
> [mm]w_i?[/mm]
>
> >
> > Desweiteren kann ich aber sagen, dass jedes (mindestens)
> > [mm]w_i[/mm] ein Urbild hat, nämlich [mm]v_i.[/mm] -> Surjektiv.
>
> mach das nicht alles in einem schritt sondern spalte solche
> überlegungen in die rückrichtung ab. ich denke hier wäre
> die kontraposition interessant. also:
> "<="
> sei dim(Im(f)) [mm]\not=[/mm] dim(W) (also gilt <) was gilt denn
> dann für W \ Im(f)?
>
> >
> > Was sagt ihr dazu?
> > Danke :)
>
>
> Gruß Bernhard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Di 14.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi
>
> Ich habe folgende Frage
>
> Es sei f:V-->W eine lineare Abbildung. Man zeige:
>
> Sei W endlich dimensional. Dann gilt Rang(f) = dimW genau
> dann, wenn f surjektiv ist.
> Ok ich weiß nicht genau wie ich da ran gehen soll:
>
> Der Rang ist doch definiert als rang(f) = dim(im(f))
Ja
>
> Dann nehme ich die lineare Abbildung [mm]f(v_i)=w_i[/mm] für i=
> 1,2,....n. Dies ist doch eindeutig eine Abbildung auf das
> Bild.
Was soll das ?
Was sind denn die [mm] v_i [/mm] ?? und die [mm] w_i [/mm] ??
>
> Desweiteren kann ich aber sagen, dass jedes (mindestens)
> [mm]w_i[/mm] ein Urbild hat, nämlich [mm]v_i.[/mm] -> Surjektiv.
Unsinn, solange Du nicht sagst, was die ganzen [mm] otto_i [/mm] sind !
>
> Was sagt ihr dazu?
Gezeigt hast Du nichts !
Wegen im(f) [mm] \subseteq [/mm] W gilt:
f surjektiv [mm] \gdw [/mm] im(f) =W [mm] \gdw [/mm] dim( im(f)) = dim W [mm] \gdw [/mm] rang(f) =dim W.
FRED
> Danke :)
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> Was sind denn die [mm]v_i[/mm] ?? und die [mm]w_i[/mm] ??
Die [mm] v_i [/mm] sollen die Basisvektoren von V sein. Also [mm] V_B [/mm] = [mm] \{v_1,v_2,....,v_n\}
[/mm]
und die [mm] w_i [/mm] sollen die Bilder der [mm] v_i [/mm] in W sein.
>
>
> Wegen im(f) [mm]\subseteq[/mm] W gilt:
>
>
> f surjektiv [mm]\gdw[/mm] im(f) =W [mm]\gdw[/mm] dim( im(f)) = dim W
> [mm]\gdw[/mm] rang(f) =dim W.
>
Soll ich demnach zuerst die hinrichtung, sprich wenn f surjektiv dann rang(f) =dim W.
und anschließend die Rückrichtung, sprich wenn rang(f) =dim W dann f surjektiv
zeigen?
> FRED
>
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>
> > Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Di 14.02.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > Was sind denn die [mm]v_i[/mm] ?? und die [mm]w_i[/mm] ??
>
> Die [mm]v_i[/mm] sollen die Basisvektoren von V sein. Also [mm]V_B[/mm] =
> [mm]\{v_1,v_2,....,v_n\}[/mm]
Nirgendwo ist vorausgesetzt, dass V enndlichdimensional ist.
>
> und die [mm]w_i[/mm] sollen die Bilder der [mm]v_i[/mm] in W sein.
>
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> >
> > Wegen im(f) [mm]\subseteq[/mm] W gilt:
> >
> >
> > f surjektiv [mm]\gdw[/mm] im(f) =W [mm]\gdw[/mm] dim( im(f)) = dim W
> > [mm]\gdw[/mm] rang(f) =dim W.
> >
>
> Soll ich demnach zuerst die hinrichtung
"Hinrichtung" ? Wer wird hingerichtet ?
, sprich wenn f
> surjektiv dann rang(f) =dim W.
>
> und anschließend die Rückrichtung, sprich wenn rang(f)
> =dim W dann f surjektiv
>
> zeigen?
Haä ?
Oben hab ich Dir doch alles vorgemacht !!
"f surjektiv [mm]\gdw[/mm] im(f) =W [mm]\gdw[/mm] dim( im(f)) = dim W [mm]\gdw[/mm] rang(f) =dim W."
Wegen der " [mm] \gdw" [/mm] Pfeile ist doch alles erledigt.
FRED
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> > FRED
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> > > Danke :)
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> > > Was sind denn die [mm]v_i[/mm] ?? und die [mm]w_i[/mm] ??
> >
> > Die [mm]v_i[/mm] sollen die Basisvektoren von V sein. Also [mm]V_B[/mm] =
> > [mm]\{v_1,v_2,....,v_n\}[/mm]
>
> Nirgendwo ist vorausgesetzt, dass V enndlichdimensional
> ist.
Stimmt, mein Fehler
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> >
> > und die [mm]w_i[/mm] sollen die Bilder der [mm]v_i[/mm] in W sein.
> >
> >
> >
> > >
> > >
> > > Wegen im(f) [mm]\subseteq[/mm] W gilt:
> > >
> > >
> > > f surjektiv [mm]\gdw[/mm] im(f) =W [mm]\gdw[/mm] dim( im(f)) = dim W
> > > [mm]\gdw[/mm] rang(f) =dim W.
> > >
> >
> > Soll ich demnach zuerst die hinrichtung
>
>
> "Hinrichtung" ? Wer wird hingerichtet ?
:(
>
> , sprich wenn f
> > surjektiv dann rang(f) =dim W.
> >
> > und anschließend die Rückrichtung, sprich wenn rang(f)
> > =dim W dann f surjektiv
> >
> > zeigen?
>
> Haä ?
>
> Oben hab ich Dir doch alles vorgemacht !!
>
> "f surjektiv [mm]\gdw[/mm] im(f) =W [mm]\gdw[/mm] dim( im(f)) = dim W
> [mm]\gdw[/mm] rang(f) =dim W."
>
> Wegen der " [mm]\gdw"[/mm] Pfeile ist doch alles erledigt.
Sorry, dass ich das Fragen muss aber war das schon alles?
Ok wenn f surjektiv, dann im(f) =W // folgt doch aus der Definition
und die anderen Pfeile sind dann "einfache" umformungen.....
Puh danke dir :)
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Di 14.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > >
> > > > Was sind denn die [mm]v_i[/mm] ?? und die [mm]w_i[/mm] ??
> > >
> > > Die [mm]v_i[/mm] sollen die Basisvektoren von V sein. Also [mm]V_B[/mm] =
> > > [mm]\{v_1,v_2,....,v_n\}[/mm]
> >
> > Nirgendwo ist vorausgesetzt, dass V enndlichdimensional
> > ist.
>
> Stimmt, mein Fehler
>
> >
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> > >
> > > und die [mm]w_i[/mm] sollen die Bilder der [mm]v_i[/mm] in W sein.
> > >
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> > > >
> > > > Wegen im(f) [mm]\subseteq[/mm] W gilt:
> > > >
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> > > > f surjektiv [mm]\gdw[/mm] im(f) =W [mm]\gdw[/mm] dim( im(f)) = dim W
> > > > [mm]\gdw[/mm] rang(f) =dim W.
> > > >
> > >
> > > Soll ich demnach zuerst die hinrichtung
> >
> >
> > "Hinrichtung" ? Wer wird hingerichtet ?
>
>
> :(
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> >
> > , sprich wenn f
> > > surjektiv dann rang(f) =dim W.
> > >
> > > und anschließend die Rückrichtung, sprich wenn rang(f)
> > > =dim W dann f surjektiv
> > >
> > > zeigen?
> >
> > Haä ?
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> > Oben hab ich Dir doch alles vorgemacht !!
> >
> > "f surjektiv [mm]\gdw[/mm] im(f) =W [mm]\gdw[/mm] dim( im(f)) = dim W
> > [mm]\gdw[/mm] rang(f) =dim W."
> >
> > Wegen der " [mm]\gdw"[/mm] Pfeile ist doch alles erledigt.
>
> Sorry, dass ich das Fragen muss aber war das schon alles?
Ja
FRED
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> Ok wenn f surjektiv, dann im(f) =W // folgt doch aus der
> Definition
>
> und die anderen Pfeile sind dann "einfache"
> umformungen.....
>
> Puh danke dir :)
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> > FRED
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