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| Aufgabe | Es sei f:A->B eine Abbildung nichtleerer Mengen. Beweisen Sie:
a) Genau dann ist f injektiv, wenn eine Abbildung g:B->A existiert mit gof=id(A).
b)Genau dann ist f surjeltiv, wenn eine Abbildung g:B->A existiert mit fog=id(B). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zuerst mal zur Aufgabe: das kleine o ist eigentlich noch kleiner und ein Punkt (bedeutet soviel wie g(f(x))) und das (B) ist eigentlich ein Index B.
Ich weiß überhaupt nicht vor und nicht zurück mit dieser Aufgabe und hoffe, dass ihr mir da echt weiterhelfen könnt, weil ich sie am donnerstag abgeben muss. ist also dringend. ich habe schon den tipp: id(A)=x und eben g(f(x)). aber keine ahnung.
bitte bitte bitte, ich muss das packen.
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Hallo,
mal ein Tipp zu (a)
Du musst ne Äquivalenzaussage zeigen, also beide Richtungen [mm] \Rightarrow [/mm] und [mm] \Leftarrow
[/mm]
also [mm] "\Rightarrow [/mm] " : Sei [mm] $f:A\rightarrow [/mm] B$ injektiv [mm] $\Rightarrow\forall$ $a_1,a_2\in A:f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2$
[/mm]
Nun defininiere dir eine Abbildung [mm] $g:B\supset f(A)\rightarrow [/mm] A$ mit [mm] $f(a)\mapsto [/mm] a$
Nun musst du noch nachweisen, dass g auch eine Abbildung ist.
(Verwende dazu die Injektivität von f)
[mm] "\Leftarrow [/mm] " Sei [mm] g:B\rightarrow [/mm] A mit [mm] $g\circ f=id_A$
[/mm]
Nun indirekt: Nimm an, f nicht injektiv, dh. [mm] \exists a_1,a_2\in A:f(a_1)=f(a_2)\wedge a_1\ne a_2
[/mm]
Dann ist [mm] g(f(a_1))=g(f(a_2))\underbrace{\Rightarrow}_{g Abbildung}......
[/mm]
Kommste damit weiter?
Gruß
schachuzipus
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also nicht so richtig, weil ich irgendwie gar nicht verstehe, was der prof von mir will. und deshalb versteh ich ab der zeile "nun definiere dir" eigentlich nichts mehr. vielleicht nochmal für dödel, bitte.
tut mir leid, vielleicht ist mir auch nicht zu helfen, aber irgendwie ....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Mo 23.04.2007 | | Autor: | ron |
Hallo,
kann deine Scheu verstehen, denn diese Materie ist nicht einfach zu durchdringen. Aber keine Panik es ist leichter als sich das jetzt anhört!!!
Du sollst dir wohl drei elementare Begriffe der Lina klar machen:
Eine Abbildung zwischen zwei Mengen kann
1. nur injektiv sein
2. nur surjektiv sein
3. Beides sein, dann ist diese bijektiv
(Was ist mit f in der Aufgabe??)
Grundansatz:
Definition aus der Vorlesung zu den Begriffen anschauen und Beispiele nachvollziehen.
Wichtig ist die Reihenfolge der Verkettung der Abbildungen!!!
gof startet in A und landet auch wieder in A!
fog startet in B und landet wieder in B!
Betrachte den Weg eines Elemntes aus der Menge A bzw B durch die Verkettung mit der jeweiligen Eigenschaft von f! WElche Infos hast du dann über g bekommen? Was ist eine Abbildung!
die beiden Idee zuvor sind Beweisketten mit Def-Eigenschaften und ein Widerspruchsbeweis.
Denke du kannst es mit der sauberen Arbeit über die Def. hinbekommen. Leider kenne ich nicht die genaue Bezeichungen deiner Vorlesung, somit möchte ich auch keine Beispielrechnung aufschreiben, weil es sonst mehr verwirren könnte als dir nützen.
Einfach sonst weiterfragen
Gruß
Ron
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vielen dank erstmal euch beiden, dass ihr versucht habt mir weiter zuhelfen. ich werde mich jetzt gleich nochmal ransetzen und gucken, ob ich es irgendwie hinbekomme, oder zumindestens einen ansatz finde. vielleicht schreib ich dann nochmal was. wenn noch irgendwer nen sinnvollen tipp hat bin ich dafür natürlich trotzdem offen. aber erstmal trotzdem danke den netten helfern.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Di 24.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
male dir die Situation doch einfach mal auf. Ich stelle mir Mengen immer als so eine Art Kartoffelsack vor. Male also vielleicht auf dein Blatt zwei Kartoffelsäcke. Einmal mit 3 und einmal mit 7 Kartoffeln. Dann visualisiere die Abbildung durch Pfeile von einer Kartoffel zur Bildkartoffel. Folgendes kannst Du eher als Tipp verstehen und sollte Dich bei den Zeichenübungen keinesfalls verunsichern: Für Teil b) brauchst Du das Auswahlaxiom, d.h. Du wirst irgendwas auswählen müssen. Du wirst schon sehen, wo Du es brauchst.
Volker
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