Abbildung injektiv, surjektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie für jede der folgenden Abbildungen die Eigenschaft injektiv oder surjektiv zu sein.
a) $m : [mm] \mathcal P(\IN) \to \IN [/mm] : A [mm] \mapsto \mathrm{min} [/mm] A$, (wobei das Element [mm] $\mathrm{min} [/mm] A [mm] \in [/mm] A$ eben die Eigenschaft hat, dass für jedes $a [mm] \in [/mm] A$ gilt [mm] $\mathrm{min} [/mm] A [mm] \le [/mm] a$.)
b) $s : [mm] \IN \to \IN [/mm] : n [mm] \mapsto n^{2}$.
[/mm]
c) $h : [mm] \IN \to \IN [/mm] : n [mm] \to \lfloor [/mm] n/2 [mm] \rfloor$. [/mm] (Der Ausdruck [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] bezeichnet für eine rationale Zahl $x$ die größte ganze Zahl die kleiner gleich $x$ selbst ist.) |
Hallo,
ich weiß leider nicht, wie ein formal korrekter Beweis für derartige Aufgaben aussehen soll. Ein Beispiel zu geben, wird denke ich nicht genügen...
Soll der Ansatz etwa so aussehen?
[mm] $\forall [/mm] y [mm] \in Y\colon\, (\exists! [/mm] x [mm] \in X\colon\, [/mm] f(x) = [mm] y\vee \neg (\exists [/mm] x [mm] \in X\colon\, [/mm] f(x) = y)).$
Es wäre sehr nett, wenn jemand nur den Anfang schreiben könnte, sodass ich auf einen grünen Zweig komme.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Huhu grecco,
ganz wichtig ist bei sowas immer, überhaupt erstmal eine Idee zu haben, was man zeigen will.
Wie sieht das denn bei jeder der Funktionen aus? Was würdest du bspw. bei der ersten Funktion vermuten? Ist sie injektiv, surjektiv, nichts von beidem, beides?
Gegenbeispiele reichen aus, wenn du etwas widerlegen kannst. Wenn du z.B. zwei Werte x,y findest, so dass f(x) = f(y) gilt, dann hast du bewiesen, dass die Funktion nicht injektiv ist.
Umgekehrt reicht es bei Surjektivität aus, das Element x anzugeben, so dass das gewünschte Element des Bildraumes erreicht wird.
Beide Dinge sind bei der ersten Funktion bspw recht einfach zu zeigen (also NICHT injektiv, aber surjektiv)
MFG,
Gono.
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Danke Gono,
ich schreibe mal in Worten, wie ich die gegebenen Abbildungen deute.
a) zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine natürliche Zahl als Minimum dieser Zahl.
b) zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine Quadratzahl, die ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
c) zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine Hälfte dieser Zahl, die abgerundet eine natürliche Zahl darstellt und kleiner oder gleich der Anfangszahl ist.
Bei a) wird jede Zahl in der Zielmenge mehrmals getroffen, denn z.B. ist die Zahl 1 sowohl das Minimum der Zahl 2, 3, etc. also NICHT INJEKTIV. Jede Zahl in der Zielmenge wird also mindestens einmal getroffen, deshalb herrscht SURJEKTIVITÄT.
Bei b) herrscht INJEKTIVITÄT, denn wenn voneinander verschiedene Zahlen quadriert werden, ergibt sich stets eine andere natürliche Zahl. Es besteht deshalb auch SURJEKTIVITÄT. Außerdem besteht BIJEKTIVITÄT.
Bei c) herrscht KEINE INJEKTIVITÄT, denn z.B. 2/2=1 und 3/2=1,5 abgerundet 1. Es herrscht jedoch SURJEKTIVITÄT.
Verbesserungen/Ergänzungen/Vorschläge wie man das formal korrekt aufschreibt?
Vielen Dank.
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Hiho,
> ich schreibe mal in Worten, wie ich die gegebenen
> Abbildungen deute.
>
> a) zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine natürliche Zahl
> als Minimum dieser Zahl.
Korrekt wäre: Zu jeder Menge von natürlichen Zahlen gibt es ein natürliche Zahl als Minimum dieser Menge
> b) zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine Quadratzahl,
> die ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
Korrekt.
> c) zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine Hälfte dieser
> Zahl, die abgerundet eine natürliche Zahl darstellt und
> kleiner oder gleich der Anfangszahl ist.
Die ist sogar für [mm] $n\not= [/mm] 0$ immer echt kleiner.
> Bei a) wird jede Zahl in der Zielmenge mehrmals getroffen,
> denn z.B. ist die Zahl 1 sowohl das Minimum der Zahl 2, 3,
> etc. also NICHT INJEKTIV.
Die Antwort ist richtig, die Begründung aber falsch.
Sei $A = [mm] \{2,3,4\}$, [/mm] was ist dann m(A)?
> Jede Zahl in der Zielmenge wird also mindestens einmal getroffen, deshalb herrscht
> SURJEKTIVITÄT.
Ok, dann machen wir das doch mal. Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] gegeben, dann nenne mir doch mal konkret ein [mm] $A\in\mathcal{P}(\IN)$, [/mm] so dass $m(A) = n$
> Bei b) herrscht INJEKTIVITÄT, denn wenn voneinander
> verschiedene Zahlen quadriert werden, ergibt sich stets
> eine andere natürliche Zahl. Es besteht deshalb auch
> SURJEKTIVITÄT. Außerdem besteht BIJEKTIVITÄT.
Gut, gibt es denn einen Zahlenbereich, wo die Funktion nicht mehr injektiv ist?
Du sagst nun also, die Funktion ist surjektiv, dann kannst du mir bestimmt ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] nennen, so dass $s(n) = 3$.
> Bei c) herrscht KEINE INJEKTIVITÄT, denn z.B. 2/2=1 und
> 3/2=1,5 abgerundet 1. Es herrscht jedoch SURJEKTIVITÄT.
Gut, Injektivität haben wir jetzt abgehakt. Beweisen müsstest du noch die Surjektivität 
z.B. indem du immer zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] das Element m angibst, so dass $h(m) = n$
MFG,
Gono.
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Thanks für deine Hilfe bisher, Gono.
a)
>
> Die Antwort ist richtig, die Begründung aber falsch.
>
> Sei [mm]A = \{2,3,4\}[/mm], was ist dann m(A)?
>
m(A) = 1.
Denke du meinst damit, dass ich als Begründung z.B. die beiden Potenzmengen [mm]A = \{2,3,4\}[/mm] und [mm]A = \{7,8,9\}[/mm] nehmen soll, deren Minimum u.a. die Zahl 1 ist ?
>
> Ok, dann machen wir das doch mal. Sei [mm]n\in\IN[/mm] gegeben, dann
> nenne mir doch mal konkret ein [mm]A\in\mathcal{P}(\IN)[/mm], so
> dass [mm]m(A) = n[/mm]
>
>
[mm]A = \{2,3,4\}[/mm]?
Genügt die Zeile darüber nicht als Erklärung?
b)
> Gut, gibt es denn einen Zahlenbereich, wo die Funktion
> nicht mehr injektiv ist?
[mm] $0^{2} [/mm] = 0$
[mm] $1^{2} [/mm] = 1$
[mm] $2^{2} [/mm] = 4$
[mm] $3^{2} [/mm] = 9$
[mm] $4^{2} [/mm] = 16$
[mm] $5^{2} [/mm] = 25$
[mm] $6^{2} [/mm] = 36$
[mm] $7^{2} [/mm] = 49$
...
Es wird nicht jede natürliche Zahl in der Zielmenge getroffen, deshalb herrscht keine Injektivität.
> Du sagst nun also, die Funktion ist surjektiv, dann kannst
> du mir bestimmt ein [mm]n\in\IN[/mm] nennen, so dass [mm]s(n) = 3[/mm].
>
Mit der gleichen Begründung wir eine Zeile drüber herrscht auch keine Surjektivität...?
c)
> Gut, Injektivität haben wir jetzt abgehakt. Beweisen
> müsstest du noch die Surjektivität
> z.B. indem du immer zu jedem [mm]n \in \IN[/mm] das Element m
> angibst, so dass [mm]h(m) = n[/mm]
>
Leider komme ich nicht auf das Letzte (liegt wohl an der Müdigkeit...).
> MFG,
> Gono.
Gruß
el_grecco
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Huhu,
> > Sei [mm]A = \{2,3,4\}[/mm], was ist dann m(A)?
> >
>
> m(A) = 1.
Nein. Ich denke du hast die Funktion nicht verstanden.
m(A) ist das Minimum der Menge A, das ist in diesem Fall das Minimum von 2,3 und 4 und das ist nunmal 2, es gilt also:
m(A) = 2.
Es wird also immer das kleinste Element der Menge genommen.
> Denke du meinst damit, dass ich als Begründung z.B. die
> beiden Potenzmengen [mm]A = \{2,3,4\}[/mm] und [mm]A = \{7,8,9\}[/mm] nehmen
> soll, deren Minimum u.a. die Zahl 1 ist ?
Ja und Nein.
Du sollst 2 Elemente der Potenzmenge nehmen, deren Minimum beide Male 1 ist, das ist korrekt.
Aber deine Mengen sind falsch, was ist denn das Minimum deiner beiden Mengen?
> > Ok, dann machen wir das doch mal. Sei [mm]n\in\IN[/mm] gegeben, dann
> > nenne mir doch mal konkret ein [mm]A\in\mathcal{P}(\IN)[/mm], so
> > dass [mm]m(A) = n[/mm]
> [mm]A = \{2,3,4\}[/mm]?
>
> Genügt die Zeile darüber nicht als Erklärung?
Zu einem beliebigen [mm] $n\in \IN$! [/mm]
Machen wir als Übung mal: Nenn mir mal doch mal ein Element der Potenzmenge B, so dass
$m(B) = 103482382$ ist.
> b)
>
> > Gut, gibt es denn einen Zahlenbereich, wo die Funktion
> > nicht mehr injektiv ist?
>
> [mm]0^{2} = 0[/mm]
> [mm]1^{2} = 1[/mm]
> [mm]2^{2} = 4[/mm]
> [mm]3^{2} = 9[/mm]
> [mm]4^{2} = 16[/mm]
>
> [mm]5^{2} = 25[/mm]
> [mm]6^{2} = 36[/mm]
> [mm]7^{2} = 49[/mm]
> ...
> Es wird nicht jede natürliche Zahl in der Zielmenge
> getroffen, deshalb herrscht keine Injektivität.
Was hat Injektivität denn nun mit der Zielmenge zu tun?
Schau dir mal bitte nochmal genau an, was Injektivität und Surjektivität sind!
Was du meinst ist Surjektivität und ja, die Funktion ist NICHT surjektiv, aber Injektiv.
Worauf ich eigentlich hinauswollte war: Ist die Funktion auch noch Injektiv, wenn sie von [mm] \IZ \to \IN [/mm] geht?
> c)
>
> > Gut, Injektivität haben wir jetzt abgehakt. Beweisen
> > müsstest du noch die Surjektivität
> > z.B. indem du immer zu jedem [mm]n \in \IN[/mm] das Element m
> > angibst, so dass [mm]h(m) = n[/mm]
> >
>
> Leider komme ich nicht auf das Letzte (liegt wohl an der
> Müdigkeit...).
Dann geh schlafen und mach morgen weiter!
So wird das heute nix mehr.
MFG,
Gono.
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a)
> Ja und Nein.
> Du sollst 2 Elemente der Potenzmenge nehmen, deren Minimum
> beide Male 1 ist, das ist korrekt.
> Aber deine Mengen sind falsch, was ist denn das Minimum
> deiner beiden Mengen?
>
Jetzt habe ich es begriffen (der Tipp mit dem Schlafengehen ist mehr als gut, aber ich kämpfe heute weiter  ).
Ich nehme die zwei Mengen [mm]A = \{2,3,4\}[/mm] und [mm]A = \{2,3,4,5\}[/mm], dann ist jeweils 2 das Minimum und es ist bewiesen, dass die Abbildung nicht injektiv ist.
> Zu einem beliebigen [mm]n\in \IN[/mm]!
> Machen wir als Übung mal: Nenn mir mal doch mal ein
> Element der Potenzmenge B, so dass
>
> [mm]m(B) = 103482382[/mm] ist.
>
[mm]B = \{103482382\}[/mm]
[mm]B = \{103482382, 103482383\}[/mm]
b)
> Was hat Injektivität denn nun mit der Zielmenge zu tun?
> Schau dir mal bitte nochmal genau an, was Injektivität
> und Surjektivität sind!
> Was du meinst ist Surjektivität und ja, die Funktion ist
> NICHT surjektiv, aber Injektiv.
>
"Das Prinzip der Injektivität: Jeder Punkt in der Zielmenge (Y) wird höchstens einmal getroffen."
"Das Prinzip der Surjektivität: Jeder Punkt in der Zielmenge (Y) wird mindestens einmal getroffen."
Zur besseren Übersicht nochmal das selbe Spiel:
[mm] $0^{2} [/mm] = 0$
[mm] $1^{2} [/mm] = 1$
[mm] $2^{2} [/mm] = 4$
[mm] $3^{2} [/mm] = 9$
[mm] $4^{2} [/mm] = 16$
[mm] $5^{2} [/mm] = 25$
[mm] $6^{2} [/mm] = 36$
[mm] $7^{2} [/mm] = 49$
...
Injektivität, denn jede Zahl in der Zielmenge wird keinmal oder höchstens einmal "getroffen".
Keine Surjektivität, denn es gibt Zahlen in der Zielmenge, die keinmal "getroffen" werden.
c)
> Dann geh schlafen und mach morgen weiter!
> So wird das heute nix mehr.
>
Wie gesagt: ich kämpfe heute weiter.
Leider dämmert es mir noch nicht, wie ich die Surjektivität beweise, ohne jedes einzelne mögliche Beispiel "abzuklappern".
> MFG,
> Gono.
Vielen Dank für deine Geduld und Hilfe!
Gruß
el_grecco
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Hiho,
> Jetzt habe ich es begriffen (der Tipp mit dem Schlafengehen
> ist mehr als gut, aber ich kämpfe heute weiter ).
>
> Ich nehme die zwei Mengen [mm]A = \{2,3,4\}[/mm] und [mm]A = \{2,3,4,5\}[/mm],
> dann ist jeweils 2 das Minimum und es ist bewiesen, dass
> die Abbildung nicht injektiv ist.
Korrekt
>
> > Zu einem beliebigen [mm]n\in \IN[/mm]!
> > Machen wir als Übung mal: Nenn mir mal doch mal ein
> > Element der Potenzmenge B, so dass
> >
> > [mm]m(B) = 103482382[/mm] ist.
> >
>
> [mm]B = \{103482382\}[/mm]
Genau! Und nun verallgemeiner das mal:
Ich geb dir eine beliebige natürliche Zahl aus dem Zielraum: [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Kannst du mir jetzt ein Element der Potenzmenge nennen, so dass $m(B) = n$
Schon hättest du Surjektivität gezeigt.
> "Das Prinzip der Injektivität: Jeder Punkt in der
> Zielmenge (Y) wird höchstens einmal getroffen."
> "Das Prinzip der Surjektivität: Jeder Punkt in der
> Zielmenge (Y) wird mindestens einmal getroffen."
Korrekt.
> Injektivität, denn jede Zahl in der Zielmenge wird keinmal
> oder höchstens einmal "getroffen".
Genau. Injektivität könntest du z.B. direkt zeigen hier, also:
$f(x) = f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y$
oder indirekt, indem du zeigst, dass die Funktion streng monoton (und damit injektiv) ist.
> Keine Surjektivität, denn es gibt Zahlen in der Zielmenge,
> die keinmal "getroffen" werden.
Korrekt.
> Wie gesagt: ich kämpfe heute weiter.
> Leider dämmert es mir noch nicht, wie ich die
> Surjektivität beweise, ohne jedes einzelne mögliche
> Beispiel "abzuklappern".
Indem du eine Konstruktionsvorschrift für jedes y angibst, so dass $f(x) = y$
Bei der letzten Aufgabe ist es eigentlich ganz einfach, Surjektivität zu zeigen.
MFG,
Gono.
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a)
>
> Genau! Und nun verallgemeiner das mal:
>
> Ich geb dir eine beliebige natürliche Zahl aus dem
> Zielraum: [mm]n\in\IN[/mm].
> Kannst du mir jetzt ein Element der Potenzmenge nennen, so
> dass [mm]m(B) = n[/mm]
> Schon hättest du Surjektivität gezeigt.
>
Die Theorie ist mir inzwischen klar, ich weiß jetzt nur nicht, wie ich das mathematisch darstellen soll.
b)
> Genau. Injektivität könntest du z.B. direkt zeigen hier,
> also:
>
> [mm]f(x) = f(y) \Rightarrow x=y[/mm]
>
> oder indirekt, indem du zeigst, dass die Funktion streng
> monoton (und damit injektiv) ist.
>
Zur ersten Option:
Irgendwie schaffe ich es nicht, dass auf die Funktion in der Aufgabe zu übertragen.
Zur zweiten Option:
Genügt es hier, einen Graphen zu zeichnen?
c)
> Indem du eine Konstruktionsvorschrift für jedes y angibst,
> so dass [mm]f(x) = y[/mm]
>
> Bei der letzten Aufgabe ist es eigentlich ganz einfach,
> Surjektivität zu zeigen.
>
Es hapert bei mir an der mathematischen Darstellung. In Worten werden die wohl nichts akzeptieren...
> MFG,
> Gono.
Danke & Gruß
el_grecco
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Huhu,
na dann mach ich dir das mal für die erste Funktion vor:
[mm] $m:\mathcal{P}(\IN) \to \IN$
[/mm]
Beh. m surjektiv [mm] \gdw [/mm] Für alle [mm] n\in\IN [/mm] existiert ein [mm] A\in\mathcal{P}(\IN): [/mm] m(A) = n
Beweis: Sei nun [mm] n\in\IN [/mm] gegeben. Dann ist [mm] $\{n\}\in\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] und es gilt [mm] $m(\{n\})=n$ [/mm] d.h. m ist Surjektiv.
Fertig.
> Zur ersten Option:
> Irgendwie schaffe ich es nicht, dass auf die Funktion in
> der Aufgabe zu übertragen.
Fang an mit $f(x) = g(x)$
Dann: Funktionsvorschrift einsetzen, alles auf eine Seite bringen, dritte Binomische Formel, nen bisschen überlegen, es folgt x=y
MFG,
Gono.
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> Fang an mit [mm]f(x) = g(x)[/mm]
> Dann: Funktionsvorschrift
> einsetzen, alles auf eine Seite bringen, dritte Binomische
> Formel, nen bisschen überlegen, es folgt x=y
>
Kurze Frage: was meint das g(x) (eine zweite Funktion ist ja nicht vorhanden)?
> MFG,
> Gono.
Danke & Gruß
el_grecco
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Huch,
da hab ich mich einfach vertippt.
Es soll natürlich f(x) = f(y) heissen bzw korrekterweise ja s(x) = s(y)
MFG,
Gono.
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