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| Aufgabe 1 | Finden Sie
(a) eine Abbildung f: [mm] \IN \to [/mm] [0,1], die injektiv ist. Ist Ihr Beispiel surjektiv? |
| Aufgabe 2 | | (b) eine Abbildung f: [mm] \IR \to [/mm] [0,1], die surjektiv, aber nicht injektiv ist. |
| Aufgabe 3 | | (c) eine Abbildung f: [mm] \IR+ [/mm] (inklusive 0) [mm] \to [/mm] (0,1], die bijektiv ist. |
| Aufgabe 4 | | (d) eine Abbildung f: [mm] \IR^{2} \to [/mm] {0 ,1, 2, 3}, die surjektiv ist. |
zu (a) f: [mm] \IR \to [/mm] [0,1] : [mm] x\mapstox^{2} [/mm] , ebenfalls surjektiv, also bijektiv
zu (b) f: [mm] \IR \to [/mm] [0,1] : [mm] x\mapstox^{2} [/mm] , gleiche Funktion, andere Menge für x
zu (c) f: [mm] \IR+ [/mm] (inklusive 0) [mm] \to [/mm] (0,1] : [mm] x\mapstox0,1x [/mm] => y darf im gegebenen Intervall nicht 0 werden, zu jedem y gehört genau ein x-Wert
korrigiert mich auch bis hier hin wenn ich falsch liege, jedoch ist (d) das eigentliche Problem.
da [mm] \IR^{2}\to [/mm] {0, 1, 2, 3} gegeben ist, müssen ja Zahlenpaare in die Funktion eingesetzt werden. Wie kann ich mir das Vorstellen? Ich hätte die Vermutung, dass ein 3-Dimensionales Schaubild entsteht, nähmlich dass die x1x2-Ebene (quasi der Boden des Koordinatensystems) eingesetzt wird. Demnach wäre [mm] x\mapstox(x,y)^{2} [/mm] eine Funktion, deren Graph eine Parabel ist, die um Ihre Symmetrieachse rotiert.
Danke im Voraus.
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Hallo,
> Finden Sie
> (a) eine Abbildung f: [mm]\IN \to[/mm] [0,1], die injektiv ist. Ist
> Ihr Beispiel surjektiv?
> (b) eine Abbildung f: [mm]\IR \to[/mm] [0,1], die surjektiv, aber
> nicht injektiv ist.
> (c) eine Abbildung f: [mm]\IR+[/mm] (inklusive 0) [mm]\to[/mm] (0,1], die
> bijektiv ist.
> (d) eine Abbildung f: [mm]\IR^{2} \to[/mm] {0 ,1, 2, 3}, die
> surjektiv ist.
> zu (a) f: [mm]\IR \to[/mm] [0,1] : [mm]x\mapstox^{2}[/mm] , ebenfalls
> surjektiv, also bijektiv
Du sollst aber eine Funktion finden, die aus den natürlichen Zahlen in das Intervall [0,1] abbildet!
Von daher kann [mm] f(x)=x^2 [/mm] nicht solch eine Abbildung sein.
Am besten du denkst mal an Nullfolgen. Dann bekommst du schnell ein paar Ideen ;) Ich sage nur [mm] \frac{1}{n}
[/mm]
> zu (b) f: [mm]\IR \to[/mm] [0,1] : [mm]x\mapstox^{2}[/mm] , gleiche
> Funktion, andere Menge für x
hier das selbe Problem. Hier geb eich mal als Hinweis: Betragsfunktionen sind auch schöne Funktionen.
Am besten du schaust einfach noch mal drüber und dann sehen wir weiter ;)
> zu (c) f: [mm]\IR+[/mm] (inklusive 0) [mm]\to[/mm] (0,1] : [mm]x\mapstox0,1x[/mm] =>
> y darf im gegebenen Intervall nicht 0 werden, zu jedem y
> gehört genau ein x-Wert
>
> korrigiert mich auch bis hier hin wenn ich falsch liege,
> jedoch ist (d) das eigentliche Problem.
> da [mm]\IR^{2}\to[/mm] {0, 1, 2, 3} gegeben ist, müssen ja
> Zahlenpaare in die Funktion eingesetzt werden. Wie kann ich
> mir das Vorstellen? Ich hätte die Vermutung, dass ein
> 3-Dimensionales Schaubild entsteht, nähmlich dass die
> x1x2-Ebene (quasi der Boden des Koordinatensystems)
> eingesetzt wird. Demnach wäre [mm]x\mapstox(x,y)^{2}[/mm] eine
> Funktion, deren Graph eine Parabel ist, die um Ihre
> Symmetrieachse rotiert.
>
> Danke im Voraus.
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Was ist z. B. mit y=0,25x für (a)? Somit wären die natürlichen Zahlen bis 4 im Intervall
Bei (b) wäre dann y= |0,25x| mein Vorschlag
(c) [mm] y=e^{-x} [/mm]
(d) fällt mir immer noch nichts ein
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Hallo,
> Was ist z. B. mit y=0,25x für (a)?
Ehrlich gesagt: völlig unsinnig. Deine Urbildmenge soll [mm] \IN [/mm] sein, aber, viel entscheidender: die Zielmenge ist das Intervall [0;1]. Das kannst du doch selbst nachprüfen, dass dein Beispiel das nicht erfüllt!
BTW: was ist bei euch [mm] \IN, [/mm] konkreter: gehört die Null dzu den natürlichen zahlen oder nicht?
> Somit wären die
> natürlichen Zahlen bis 4 im Intervall
???
Will sagen: was meinst du damit?
> Bei (b) wäre dann y= |0,25x| mein Vorschlag
Auch falsch, denn auch hier triffst du nicht die geforderte Zielmenge.
> (c) [mm]y=e^{-x}[/mm]
Das passt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (d) fällt mir immer noch nichts ein
Da denkst du vermutlich noch zu 'schulmathematisch'. Hier muss man halt irgendwas zusammenpuzzeln. Du könntest bspw. jedem Punkt die Nummer seines Quadranten minus 1 zuordnen. Das hat bis jetzt noch einen kleinen Haken (nämlich: was machne wir mit den Punkten auf den Koordinatenachsen?). Den auszubügeln und das ganze aufzuschreiben überlasse ich jetzt mal dir. 
Gruß, Diophant
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0 ist mit eingeschlossen.
D.h. Ich brauche eine Funktion die sehr flach verläuft und für x=0 x=1 x=2... Bei y=0 beginnt und die reellen Zahlen bis 1 abdeckt nicht wahr? (bei (a))
Bei (b) könnte die gleiche Funktion passen, wenn sie symmetrisch zur y Achse ist
(c) weiß ich ja nun
(d) kann ich mir leider noch immer nicht vorstellen. Verstehe das mit den Zahlenpaare nicht
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Hallo,
> 0 ist mit eingeschlossen.
Von was sprichst du? Also von welcher Aufgabe hast du es jetzt?
> D.h. Ich brauche eine Funktion die sehr flach verläuft und
> für x=0 x=1 x=2... Bei y=0 beginnt und die reellen Zahlen
> bis 1 abdeckt nicht wahr? (bei (a))
Die Funktion muss nicht die gesamte Zielmenge abdecken, ihre Funktionswerte müssen nur innerhalb dieser Menge liegen. Und: kein Funktionswert darf mehrfach vorkommen (weshalb?).
Prüfe einmal, ob die Funktionsvorschrift
[mm] f(n)=\bruch{1}{n+1}
[/mm]
das gewünschte leistet. Mache dir klar, weshalb bzw. weshalb nicht!
> Bei (b) könnte die gleiche Funktion passen, wenn sie
> symmetrisch zur y Achse ist
Nur dann, wenn dein Beispiel aus a) auch schon surjektiv war!
> (c) weiß ich ja nun
> (d) kann ich mir leider noch immer nicht vorstellen.
> Verstehe das mit den Zahlenpaare nicht
Zahlenpaare stehen bspw. für Punkte in der Ebene. Im Koordinatensystem ist die Ebene in vier Quadranten aufgeteilt. Das scheint mir hier irgendwie nach wie vor sehr verlockend zu sein...
Gruß, Diophant
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Also 1/(n+1) hat zwar die gewünschten Eigenschaften jedoch geht er gegen 0 und schließt diese somit aus der Lösungsmenge aus. Das ist das Problem. Ansonsten ist sie bijektiv
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Also 1/(n+1) hat zwar die gewünschten Eigenschaften jedoch
> geht er gegen 0 und schließt diese somit aus der
> Lösungsmenge aus.
Lösungsmenge??? Bitte mache dir die BEdeutung der Begriffe klar: du meinst hier die Bildmenge.
> Das ist das Problem. Ansonsten ist sie
> bijektiv
Nein und nein. Bei der a) ist das kein Problem, weil dort nur Injektivität gefordert ist. Also - zum wiederholten Male - muss nicht die gesamte Zielmenge getroffen werden.
Nur für die b) taugt mein beispiel nicht, dafür war es auch nicht gedacht.
Gruß, Diophant
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Ach wenn nur injektivität gefragt ist, muss das Intervall also nicht vollständig "ausgeschöpft" werden? Dann passt das ja.
Bei der (b) geht es doch zunächst um reelle zahlen für x, deshalb verstehe ich nicht was gegen [mm] y=x^{2} [/mm] oder y=|x| spricht. Somit ist das Intervall doch vollständig abgedeckt ohne injektivität?
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Hallo,
> Ach wenn nur injektivität gefragt ist, muss das Intervall
> also nicht vollständig "ausgeschöpft" werden? Dann passt
> das ja.
> Bei der (b) geht es doch zunächst um reelle zahlen für
> x, deshalb verstehe ich nicht was gegen [mm]y=x^{2}[/mm] oder y=|x|
> spricht. Somit ist das Intervall doch vollständig
> abgedeckt ohne injektivität?
Es ist zu vollständig abgedeckt. Deine Funktionswerte dürfen keinesfalls außerhalb der Zielmenge liegen!
Tipp:
Da bei b) keine Injektivität gefordert ist, schreit die Aufgabe ncach einer geeigneten periodischen Funktion...
Gruß, Diophant
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Jetzt sehe ich wieder ein wenig Licht am Ende des Tunnels!
Eine Sinus funktion is die Lösung. Y=sin(x)
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Hallo,
> Jetzt sehe ich wieder ein wenig Licht am Ende des Tunnels!
> Eine Sinus funktion is die Lösung. Y=sin(x)
In die Richtung dachte ich auch. Aber du hast wieder nicht aufgepasst: die Sinusfunktion nimmt Werte aus [-1;1] an. Du musst also noch die Amplitude geeignet anpassen und das ganze in y-Richtung verschieben!
Gruß, Diophant
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Stimmt hab nicht dran gedacht! Y=0,5sin(x)+0,5
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