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| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler C-Vektorraum, k [mm] \in [/mm] K und [mm] \gamma \in [/mm] End (v) mit [mm] \gamma^{k} [/mm] = [mm] id_{V}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \gamma [/mm] diagonalisierbar ist.
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Hallo zusammen,
hänge an dieser Aufgabe da oben....
Ich habe mir schon paar Ansätze überlegt, aber keines brachte mich zum Ziel :(
Könnt ihr mir bitte vielleicht einen Tip geben?
Liebe Grüße und vielen Dank
Steffi
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> Sei V ein n-dimensionaler C-Vektorraum, k [mm]\in[/mm] K und [mm]\gamma \in[/mm]
> End (v) mit [mm]\gamma^{k}[/mm] = [mm]id_{V}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\gamma[/mm] diagonalisierbar ist.
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> Hallo zusammen,
> hänge an dieser Aufgabe da oben....
>
> Ich habe mir schon paar Ansätze überlegt, aber keines
> brachte mich zum Ziel :(
Hallo,
da wir uns Lösungsansätze von Dir wünschen, wäre es gut gewesen, hättest Du Deine Ansätze hier vorgestellt.
Da wüßte man dann auch, was Du kannst.
>
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> Könnt ihr mir bitte vielleicht einen Tip geben?
Ich würde mal darüber nachdenken, daß [mm] \gamma [/mm] Nullstelle des Polynoms [mm] p(x)=x^k-1 [/mm] ist, weiter würde ich über die komplexen Nullstellen dieses Polynoms nachdenken.
Gruß v. Angela
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hi
danke für die antwort
also ich hab mir gedanken über die Nullstelen gemacht und ich hab mir überlegt zu zeigen dass das Minimalpolynom nur einfache Nullstellen hat. dafür brauche ich das charakteristische und ich versteh nicht wie Du darauf kommst das es [mm] x^{k}-1 [/mm] ist.
Liebe Grüße
steffi
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> hi
> danke für die antwort
> also ich hab mir gedanken über die Nullstelen gemacht und
> ich hab mir überlegt zu zeigen dass das Minimalpolynom nur
> einfache Nullstellen hat. dafür brauche ich das
> charakteristische und ich versteh nicht wie Du darauf
> kommst das es [mm]x^{k}-1[/mm] ist.
Hallo,
das habe ich ja gar nicht behauptet!
Du weißt, daß es ein k gibt mit [mm] \gamma^k=id_V <==>\gamma^k [/mm] - [mm] id_V (=\gamma^k -\gamma^0) [/mm] =0.
Dies hat mich motiviert, mir mal das Polynom [mm] p(x):=x^k-1(=x^k-x^0) [/mm] anzuschauen.
Ich habe festgestellt, daß es normiert ist, und daß [mm] p(\gamma)=0 [/mm] ist.
Also muß das Minimalpolynom von [mm] \gamma [/mm] dieses Polynom p(x) teilen.
Um nähere Auskunft über das Minimalpolynom zu bekommen, rate ich Dir, Dir die (komplexen) Nullstellen von p(x) anzusehen. Wieviele sind es? Sind sie gleich oder verschieden?
Gruß v. Angela
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Ok das leutet mir ein mit der Vermutung dass das [mm] x^{k}-1 [/mm] das Minipo ist. Jetzt hab ich das mit den Nullstellen gemacht und es kommt raus:
für k [mm] \in [/mm] N ungerade gibt es nur eine Nullste bei 1
für k [mm] \in [/mm] N und k=2 n mit n [mm] \in [/mm] N und n ungleich ein vielfaches von 4 dann gibt es als Nullstellen die 1 und -1
für k [mm] \in [/mm] N und k=4 n mit n [mm] \in [/mm] N gibt es 4 Nullstellen nämlich 1, -1, i und -i
Also muss ich 4 Fallunterscheidungen machen und zeigen dass [mm] x^{k}-1 [/mm] jeweils in Linearfaktoren zerfällt und nur einfache Nullstellen hat oder?
Liebe Grüße und danke im Voraus
steffi
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> Ok das leutet mir ein mit der Vermutung dass das [mm]x^{k}-1[/mm]
> das Minipo ist. Jetzt hab ich das mit den Nullstellen
> gemacht und es kommt raus:
> für k [mm]\in[/mm] N ungerade gibt es nur eine Nullste bei 1
> für k [mm]\in[/mm] N und k=2 n mit n [mm]\in[/mm] N und n ungleich ein
> vielfaches von 4 dann gibt es als Nullstellen die 1 und -1
> für k [mm]\in[/mm] N und k=4 n mit n [mm]\in[/mm] N gibt es 4 Nullstellen
> nämlich 1, -1, i und -i
Hallo,
was Du hier über die Nullstellen von [mm] x^k-1 [/mm] bzw. die Lösungen von [mm] x^k=1 [/mm] schreibst, stimmt nicht.
Es hat [mm] x^3-1 [/mm] z.B. nicht nur eine (komplexe) Nullstelle, sondern drei.
Schau Dich mal bei den n-ten Einheitswurzeln um.
>
> Also muss ich 4 Fallunterscheidungen machen und zeigen dass
> [mm]x^{k}-1[/mm] jeweils in Linearfaktoren zerfällt und nur einfache
> Nullstellen hat oder?
Jein.
Du brauchst keine Fallunterscheidungen.
Daß [mm] x^{k}-1 [/mm] über [mm] \IC [/mm] in Linearfaktoren zerfällt ist klar, denn [mm] \IC [/mm] ist algebraisch abgeschlossen.
Zeigen mußt Du, daß die k Nullstellen alle verschieden sind.
Gruß v. Angela
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