Abbildung der oberen Halbebene < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 So 26.02.2006 | | Autor: | Maiko |
| Aufgabe | Gesucht sind das Bild der oberen Halbebene {z [mm] \in [/mm] C : Im (z) [mm] \ge
[/mm]
0}, sowie die Fixpunkte der Abbildung, die durch die gebrochen lineare Funktion f mit
[mm] w=f(z)=\frac{(2+i)*z-i}{z+1}
[/mm]
gegeben ist. |
Ich habe schon eine Vielzahl dieser Aufgaben löst. Ein einfaches Beispiel ist ja z.B. die Abbildung der imaginären Achse in den Bildbereich.
Hier hätte ich einfach eine Gleichung aufgestellt:
z=t*i [mm] (\infty [/mm] ... t ... 0)
Diese Gleichung hätte ich in meine Abbildungsfunktion eingesetzt und das Ergebnis interpretiert.
Kann ich hier auch eine Gleichung für die obere Halbebene aufstellen? Gibt es hier auch so einen Lösungsansatz?
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Ich weiß nicht, welche Kenntnisse über Möbius-Transformationen (so nennt man diese gebrochen-linearen Funktionen) dir zur Verfügung stehen. Wenn man nämlich verwendet, daß eine solche stets Kreise auf Kreise abbildet (wobei in dem Zusammenhang auch Geraden als Kreise gelten, nämlich als Kreise durch [mm]\infty[/mm] - den Nordpol der Riemannschen Zahlenkugel), kann man diese Frage recht schnell beantworten.
Die obere Halbebene wird durch die reelle Achse begrenzt. Das ist der Kreis durch [mm]0,1,\infty[/mm].
[mm]z = 0 \mapsto w = -\operatorname{i}[/mm]
[mm]z = 1 \mapsto w = 1[/mm]
[mm]z = \infty \mapsto w = 2 + \operatorname{i}[/mm]
Wenn man sich die [mm]w[/mm]-Werte einmal einzeichnet, erkennt man, daß sie auf der Geraden [mm]g[/mm] mit der Steigung [mm]1[/mm], die die reelle Achse bei [mm]1[/mm] schneidet, liegen. Das Bild der reellen Achse unter der vorgegebenen Transformation ist also diese Gerade [mm]g[/mm]. Aus Stetigkeitsgründen muß das Bild der oberen Halbebene also eine der beiden durch [mm]g[/mm] bestimmten Halbebenen sein. Und welche es ist, kann man z.B. dadurch feststellen, daß man einen Punkt der oberen Halbebene ([mm]z = \operatorname{i}[/mm] bietet sich als einfachste Möglichkeit an) wählt und nachrechnet, in welcher der durch [mm]g[/mm] bestimmten Halbebenen sein Bild liegt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 So 26.02.2006 | | Autor: | Maiko |
Danke für diese sehr einleuchtende Antwort.
Ich hab die Aufgabe nun verstanden 
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