Abbildung Ringepimorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:38 Fr 28.09.2012 | | Autor: | nero08 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] $\varphi: \mathrm{Abb}( \mathbb [/mm] R, [mm] \mathbb [/mm] R) [mm] \to \mathbb [/mm] R$, definiert durch [mm] $\varphi(f)=f(2)$ [/mm] für $f [mm] \in \mathrm{Abb}( \mathbb [/mm] R, [mm] \mathbb [/mm] R)$, ein Ringepimorphismus ist. |
hi!
das beispiel bereitet mir grße probleme und ich glaub es wäre sehr wichtig, dass ich es bis morgen habe zwecks klausur.
bis jetzt glaube ich dass ich eine funkio gefunde habe die sujektiv ist: x-2 + a=a
nun stehe ich vor dem Probem, dass ich den homomorphismus zeigen muss hier hänge ich leider :(
bitte um hilfe
lg
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=501276
da es schon dringed ist muss ich leider doppelt posten, sorry
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> Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]\varphi: \mathrm{Abb}( \mathbb R, \mathbb R) \to \mathbb R[/mm],
> definiert durch [mm]\varphi(f)=f(2)[/mm] für [mm]f \in \mathrm{Abb}( \mathbb R, \mathbb R)[/mm],
> ein Ringepimorphismus ist.
>
> hi!
>
> das beispiel bereitet mir grße probleme
Hallo,
schauen wir erstmal die Abbildung [mm] \varphi [/mm] an.
Was tut sie?
Sie ordnet jeder Funktion, die aus em [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbildet, ihren Funktionswert an der Stelle 2 zu.
Nehmen wir als Beispiele mal die Funktionen [mm] f,g,h:\IR^\to \IR [/mm] mit
f(x):=5
g(x):=sin(x)
[mm] h(x)=e^x+\pi.
[/mm]
Es ist
[mm] \varphi(f)=f(2)=5,
[/mm]
[mm] \varphi(g)=g(2)=sin(2),
[/mm]
[mm] \varphi(h)=h(2)=e^2+\pi.
[/mm]
Du sollst nun zeigen, daß dies ein Ringepimorphismus ist.
> bis jetzt glaube ich dass ich eine funkio gefunde habe die
> sujektiv ist: x-2 + a=a
Ich übersetze den Quatsch, den Du schreibst, mal:
Du glaubst, eine Funktion f gefunden zu haben, mit welcher Du die Surjektivität von [mm] \varphi [/mm] zeigen kannst, nämlich, indem Du für jeses [mm] a\in\IR [/mm] die durch [mm] f_a(x):=x-2+a [/mm] definierte Funktion betrachtest.
Schauen wir mal nach, ob das stimmt:
Um zu zeigen, daß [mm] \varphi [/mm] surjektiv ist, mußt Du zu jeem [mm] a\in \IR [/mm] eine Funktion [mm] f\in Abb(\IR,\IR) [/mm] liefern, so daß [mm] \varphi(f)=a.
[/mm]
Sei also [mm] a\in \IR.
[/mm]
Es ist [mm] \varphi(f_a)=f_a(2)=2-2+a=a.
[/mm]
Juchu, klappt! Die Surjektivität ist gezeigt.
>
> nun stehe ich vor dem Probem, dass ich den homomorphismus
> zeigen muss hier hänge ich leider :(
Dann schreibst Du jetzt sinnigerweise erstmal auf, was ein Ringhomomorphismus ist. Wie habt Ihr das definiert?
Ohne das zu wissen, geht es ja nicht.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Fr 28.09.2012 | | Autor: | nero08 |
hi!
danke für die Antwort!
die tastatur spinnt ei wenig und ich glaub dank der späten Uhrzeit gestern fiel mir dies nicht mehr auf.
Also ein Ringhom. ist eine Abbildung [mm] \varphi: \IR->\IR' [/mm] mit den Eigenschaften:
a,b [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \varphi(a+b) [/mm] = [mm] \varphi(a) [/mm] + [mm] \varphi(b) [/mm] und [mm] \varphi(ab)=\varph(a)\varphi(b)
[/mm]
[mm] \varphi(1R) [/mm] = [mm] \varphi(1R')
[/mm]
wie gehe ich in disem fall vor? einfach für a und b meine funktion einsetzten?
also [mm] \varphi(2x-4+2a) [/mm] = 2*2 -4 + 2a = 2a
[mm] \varphi(x-2+a) [/mm] + [mm] \varphi(x-2+a)= [/mm] a + a = 2a
okay also wären sie gleich? damit müsste die erste eigenschaft nachgewiesen sein?
zur zweiten:
hmm, was soll das Einselement sein? da weiß ich leider nicht wirklich weiter..
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Fr 28.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> hi!
>
> danke für die Antwort!
>
> die tastatur spinnt ei wenig und ich glaub dank der späten
> Uhrzeit gestern fiel mir dies nicht mehr auf.
>
> Also ein Ringhom. ist eine Abbildung [mm]\varphi: \IR->\IR'[/mm]
> mit den Eigenschaften:
> a,b [mm]\in \IR[/mm]
> [mm]\varphi(a+b)[/mm] = [mm]\varphi(a)[/mm] + [mm]\varphi(b)[/mm] und
> [mm]\varphi(ab)=\varph(a)\varphi(b)[/mm]
>
> [mm]\varphi(1R)[/mm] = [mm]\varphi(1R')[/mm]
Ich nehme an, Du meinst mit [mm] \IR [/mm] und [mm] \IR' [/mm] zwei Ringe. Diese Bez. ist schlecht, denn [mm] \IR [/mm] ist für die Menge der reellen Zahlen reserviert.
>
> wie gehe ich in disem fall vor? einfach für a und b meine
> funktion einsetzten?
>
> also [mm]\varphi(2x-4+2a)[/mm] = 2*2 -4 + 2a = 2a
>
>
> [mm]\varphi(x-2+a)[/mm] + [mm]\varphi(x-2+a)=[/mm] a + a = 2a
>
>
> okay also wären sie gleich? damit müsste die erste
> eigenschaft nachgewiesen sein?
Unsinn ! Für $ f, g [mm] \in \mathrm{Abb}( \mathbb [/mm] R, [mm] \mathbb [/mm] R) $ mußt Du zeigen:
[mm] \varphi(f*g)=\varphi(f)*\varphi(g)
[/mm]
[mm] \varphi(f+g)=\varphi(f)+\varphi(g) [/mm]
FRED
>
> zur zweiten:
>
> hmm, was soll das Einselement sein? da weiß ich leider
> nicht wirklich weiter..
>
> lg
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Fr 28.09.2012 | | Autor: | nero08 |
[mm] \varphi(f*g) [/mm] = (f*g)(2) = f(2) * g(2) = [mm] \varphi(f)* \varphi(g)
[/mm]
so?
das gleiche für +....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Fr 28.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\varphi(f*g)[/mm] = (f*g)(2) = f(2) * g(2) = [mm]\varphi(f)* \varphi(g)[/mm]
>
> so?
>
> das gleiche für +....
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Fr 28.09.2012 | | Autor: | nero08 |
okay...
jetzt bleibt halt noch das Einselemnt:
was ist eigentlich das Einselemn der funtion?
es kommt ja immer f(2) heraus....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Fr 28.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> okay...
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> jetzt bleibt halt noch das Einselemnt:
>
> was ist eigentlich das Einselemn der funtion?
>
> es kommt ja immer f(2) heraus....
Du suchst also das Einselement in [mm] \mathrm{Abb}(\IR, \IR) [/mm] .....
Nennen wirs mal [mm] f_1. [/mm] Dann gilt doch:
[mm] f*f_1=f [/mm] für alle f [mm] \in \mathrm{Abb}(\IR, \IR),
[/mm]
also [mm] $f(x)*f_1(x)=f(x)$ [/mm] für alle f [mm] \in \mathrm{Abb}(\IR, \IR) [/mm] und alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Na, welche Funktion [mm] f_1 [/mm] erfüllt das wohl ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Fr 28.09.2012 | | Autor: | nero08 |
naja eine die konstant auf 1 abbildet...
/varphi(f1) = f1(2) = 1
noch eine kleine zusatzfrage:
I = { [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR| [/mm] f(2) = 0 }
zz. [mm] ABB(\IR,\IR)/I \cong \IR [/mm] // Isomorph finde das richtige zeichen leider nicht.
nun ja ohne dieses I was den kern repreäsentiert bildet die funktion doch genau in die Bildmenge ab. reicht dies?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Fr 28.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> naja eine die konstant auf 1 abbildet...
>
> /varphi(f1) = f1(2) = 1
>
> noch eine kleine zusatzfrage:
>
> I = { [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f(2) = 0 }
>
> zz. [mm]ABB(\IR,\IR)/I \cong \IR[/mm] // Isomorph finde das richtige
> zeichen leider nicht.
>
> nun ja ohne dieses I was den kern repreäsentiert bildet
> die funktion doch genau in die Bildmenge ab. reicht dies?
>
> lg
Vielleicht meinst Du das Richtige, vielleicht aber auch nicht ...
Es ist [mm] I=kern(\varphi).
[/mm]
Der Homomorphiesatz sagt nun:
[mm] $Abb(\IR,\IR)/I$ [/mm] ist isomorph zu [mm] Bild(\varphi)
[/mm]
Und [mm] Bild(\varphi)=?
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Fr 28.09.2012 | | Autor: | nero08 |
naja das im(/varphi) = /IR
haben wir ja vorher gezeigt, dass surj. herrscht also wird jedes Element in /IR getroffen.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Fr 28.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> naja das im(/varphi) = /IR
>
> haben wir ja vorher gezeigt, dass surj. herrscht also wird
> jedes Element in /IR getroffen.
Richtig
FRED
>
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Fr 28.09.2012 | | Autor: | nero08 |
danke für deine Hilfe!
lg
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