Abbildung K-linear < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper. Sei [mm] t:M_{n}(K) \to [/mm] K K-linear und es gelte für alle A,B [mm] \in M_{n}(K): [/mm] t(AB)=t(BA).
Zeige: [mm] \exists [/mm] r [mm] \in\IR, [/mm] sodass für alle A [mm] \in M_{n}(K) [/mm] gilt t(A)=rTr(A). |
Hallo allerseits,
ich kann mit der Aufgabe überhaupt nichts anfangen.
Eine Matrix wird auf eine Zahl abgebildet. Denn nichts anderes ist ja K oder?
t K-linear sagt mir nach Definition:
t(x+y)=t(x)+t(y) (wobei hier x und y Matrizen sein sollten)
t(rx)=r*t(x)
Die Spur von A ist [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ii}
[/mm]
Und die Zahl auf die A durch t abgebildet wird soll gleich r mal der Spur von A sein.
Ich hab keine Idee wie ich ansetzen kann!
Für Tipps, Hinweise und Denkanstöße bin sehr Dankbar!
Viele Grüße,
Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Mi 22.11.2006 | | Autor: | otto.euler |
Sind A,B ähnlich, also [mm] A=SBS^{-1}, [/mm] so t(A) = t(B).
Beweis: t(A) = [mm] t(SBS^{-1}) [/mm] = [mm] t((SB)S^{-1}) [/mm] = [mm] t(S^{-1}(SB)) [/mm] = [mm] t(S^{-1}SB) [/mm] = t(B)
Hattet ihr schon das charakteristische Polynom einer Abbildung?
Vielleicht hilft auch der Hinweis, dass mich die Aufgabe an Lie-Algebren erinnert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Do 23.11.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Die Aufgabe sollen Erstis nach 4 Wochen Studium loesen.
Ich hab jetzt irgendwelchen groben Zusammenhaenge hingeschustert, mal sehen.
Sollte sich noch jemand fuer die Loesung interessieren, kann ich morgen gerne noch die Musterloesung posten.
Dank fuer's Ueberlegen!
Viele Gruesse,
Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 24.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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