Abbildung Banachraum Dualraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es [mm] sei$\mathcal [/mm] B [mm] \in \mathfrak{L}(X,Y')$ [/mm] wobei X, Y Banachräume sind. Zeige, das folgendes äquivalent ist: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\mathcal [/mm] B [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y'$ hat abgeschlossenen Bildbereich [mm] \\
[/mm]
[mm] $\mathcal B(X)=(Ker(\matcal B')^\circ) $\\
[/mm]
Es existiert [mm] $\beta [/mm] > 0$ so dass [mm] $sup_{y \in Y} \frac{\mathcal Bx(y)}{||y||_{Y}} \ge \beta \inf_{z \in Ker \mathcal B} ||x+y||_{X}, [/mm] x [mm] \in [/mm] X$ |
Diese Aufgabe beschäftigt mich nun schon ein bisschen, und ich bin ehrlich gesagt total überfordert und für jede Hilfe sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mi 05.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei[mm]\mathcal B \in \mathfrak{L}(X,Y')[/mm] wobei X, Y
> Banachräume sind. Zeige, das folgendes äquivalent ist:
> [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\mathcal B \colon X \to Y'[/mm] hat abgeschlossenen Bildbereich
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\mathcal B(X)=(Ker(\matcal B')^\circ)[/mm][mm] \\[/mm]
> Es existiert
> [mm]\beta > 0[/mm] so dass [mm]sup_{y \in Y} \frac{\mathcal Bx(y)}{||y||_{Y}} \ge \beta \inf_{z \in Ker \mathcal B} ||x+y||_{X}, x \in X[/mm]
Diese Aussage ist nicht zu verstehen !!
1. Was bedeutet [mm] $\mathcal [/mm] Bx(y)$ ?
2. Statt [mm] $\inf_{z \in Ker \mathcal B} ||x+y||_{X}$ [/mm] soll es wohl lauten : [mm] \inf_{z \in Ker \mathcal B} ||x+z||_{X}
[/mm]
Das ist dann die Quotientennorm auf $X/( Ker [mm] \mathcal [/mm] B)$
>
> Diese Aufgabe beschäftigt mich nun schon ein bisschen, und
> ich bin ehrlich gesagt total überfordert und für jede
> Hilfe sehr dankbar!
Zu: $ [mm] \mathcal [/mm] B [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y' $ hat abgeschlossenen Bildbereich [mm] \gdw [/mm]
$ [mm] \mathcal B(X)=(Ker(\mathcal B')^\circ) [/mm] $
Zunächst zur Bez. mit dem [mm] \circ:
[/mm]
Ich vermute bei Euch ist das folgendes: Ist X ein normierter Raum und M eine Teilmenge von X, so ist
[mm] M^{\circ}=\{x' \in X': x'(m)=0 \forall m \in M\}.
[/mm]
Hierbei ist X' der topologische Dual von X.
Wenn ja, so beachte den folgenden Satz (den Ihr bestimmt hattet):
Satz: Sind E und F normirte Räume und ist T:E [mm] \to [/mm] F stetig und linear, so ist
[mm] \overline{T(E)}=Ker(T)^{\circ}
[/mm]
Edit: es lautet: [mm] \overline{T(E)}=Ker(T')^{\circ}
[/mm]
Folgerung: T(E) ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] T(E)= [mm] \overline{T(E)} \gdw T(E)=Ker(T)^{\circ}
[/mm]
Edit: [mm] \gdw T(E)=Ker(T')^{\circ}
[/mm]
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hey, danke erstmal für die Antwort! Du hast natürlich recht, anstatt y muss es z heissen.
Mit [mm] $\matcal [/mm] Bx(y)$ ist [mm] $\mathcal [/mm] (B(x))(y)$ gemeint. [mm] $\mathcal [/mm] B(x) [mm] \in Y^\prime$ [/mm] ist ja ein Funktional $f:Y [mm] \to Y^\prime$. \\
[/mm]
Wir hatten in der Vorlesungen den folgenden Satz, der sich von deinem ein bisschen unterscheidet, und zwar: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\overline(Rg(T))=(Ker(T^\prime))^\circ$ \\
[/mm]
Hast du dich vertippt, muss es bei dir [mm] $T^\prime$ [/mm] anstatt T heissen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:00 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hey, danke erstmal für die Antwort! Du hast natürlich
> recht, anstatt y muss es z heissen.
> Mit [mm]\matcal Bx(y)[/mm] ist [mm]\mathcal (B(x))(y)[/mm] gemeint. [mm]\mathcal B(x) \in Y^\prime[/mm]
> ist ja ein Funktional [mm]f:Y \to Y^\prime[/mm]. [mm]\\[/mm]
> Wir hatten in der Vorlesungen den folgenden Satz, der sich
> von deinem ein bisschen unterscheidet, und zwar: [mm]\\[/mm]
> [mm]\overline(Rg(T))=(Ker(T^\prime))^\circ[/mm] [mm]\\[/mm]
> Hast du dich vertippt, muss es bei dir [mm]T^\prime[/mm] anstatt T
> heissen?
Ja, da habe ich mich verschrieben.
FRED
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Okay danke erstmal. Hast du zur dritten Äquivalent noch eine Idee? deine Definition von [mm] $X^\circ$ [/mm] war übrigens korrekt, das habe ich vergessen zu schreiben!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:46 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Hier stimmt noch etwas nicht:
Es existiert $ [mm] \beta [/mm] > 0 $ so dass $ [mm] sup_{y \in Y} \frac{\mathcal Bx(y)}{||y||_{Y}} \ge \beta \inf_{z \in Ker \mathcal B} ||x+y||_{X}, [/mm] x [mm] \in [/mm] X $
Es soll lauten:
(*) Es existiert $ [mm] \beta [/mm] > 0 $ so dass $ [mm] sup_{y \in Y, y \ne 0} \frac{|\mathcal Bx(y)|}{||y||_{Y}} \ge \beta \inf_{z \in Ker \mathcal B} ||x+z||_{X}, [/mm] x [mm] \in [/mm] X $
Setzen wir d(x, [mm] Ker(\mathcal B)):=\inf_{z \in Ker \mathcal B} ||x+z||_{X},
[/mm]
so ist (*) äquivalent zu
[mm] \inf \{\bruch{|| \mathcal B x||}{d(x, Ker(\mathcal B)) }: x \notin Ker(\mathcal B)\}>0.
[/mm]
Beweise das !
Die Zahl [mm] $\gamma( \mathcal [/mm] B):= [mm] \inf \{\bruch{|| \mathcal B x||}{d(x, Ker(\mathcal B)) }: x \notin Ker(\mathcal B)\}$
[/mm]
heißt der Minimalmodul von [mm] $\mathcal [/mm] B$
Esw gilt nun folgender Satz (hattet Ihr ihn ?)
Satz: Der Bildraum von [mm] $\mathcal [/mm] B$ ist abgeschlossen [mm] \gdw $\gamma( \mathcal [/mm] B)>0$
FRED
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