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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mo 07.09.2009 | | Autor: | deny-m |
| Aufgabe | [mm] \Pi_n [/mm] bezeichne den Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich n.
Die Abbildung K: [mm] \begin{cases} \Pi_5 \to \IR^5, & \mbox{} \mbox{} \\ p\ \mapsto (p(1), p(2), p(3), p(4), p(5))^{T} & \mbox{} \mbox{} \end{cases} [/mm] ist nicht injektiv. |
Wir haben hier Polynome fünften Grades, deswegen haben wir doch keine zwei verschiedene Elemente aus [mm] \Pi_5 [/mm] welche gleiche Funktionswerte in [mm] \IR^5 [/mm] haben.
z.B: x=1 f(x)=1, x=-1 f(x)=-1
Deswegen muss es doch injektiv sein oder????
Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben
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> [mm]\Pi_n[/mm] bezeichne den Vektorraum der Polynome vom Grad
> kleiner oder gleich n.
>
> Die Abbildung
> K: [mm]\begin{cases} \Pi_5 \to \IR^5, & \mbox{} \mbox{} \\ p\ \mapsto (p(1), p(2), p(3), p(4), p(5))^{T} & \mbox{} \mbox{} \end{cases}[/mm]
> ist nicht injektiv.
> Wir haben hier Polynome fünften Grades, deswegen haben
> wir doch keine zwei verschiedene Elemente aus [mm]\Pi_5[/mm] welche
> gleiche Funktionswerte in [mm]\IR^5[/mm] haben.
>
> z.B: x=1 f(x)=1, x=-1 f(x)=-1
>
>
> Deswegen muss es doch injektiv sein oder????
>
> Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben
Denk daran, dass man zur eindeutigen Festlegung
einer Polynomfunktion vom Grad n nicht nur n
Punkte braucht, sondern einen mehr. Beispiel:
Für eine quadratische Funktion (Parabel, n=2)
sind 3 Punkte (mit verschiedenen x-Werten)
erforderlich.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mo 07.09.2009 | | Autor: | deny-m |
Ok, das ist einleuchtend! Aber mit der Lösung kann ich das immer noch nicht kombinieren!!! Noch ein Tipp vielleicht ? :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mo 07.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok, das ist einleuchtend! Aber mit der Lösung kann ich das
> immer noch nicht kombinieren!!! Noch ein Tipp vielleicht ?
> :D
Das Polynom $f = (x - 3) (x - 4) (x - 5) (x - 6)$ hat die vier Nullstellen $3, 4, 5, 6$ und Grad 4. Kannst du das verallgemeinern?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mo 07.09.2009 | | Autor: | deny-m |
D.h. dann dass es keine injektive Funktion ist! Ist das richtig??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mo 07.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> D.h. dann dass es keine injektive Funktion ist! Ist das
> richtig??
Ja.
Kannst du auch konkrete Beispiele angeben, wo die Injektivitaet verletzt wird?
LG Felix
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