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| Aufgabe | Sei K ein Körper und n [mm] \ge [/mm] 2. Gegeben sei die Abbildung
[mm] \theta [/mm] : [mm] K^{n x n} \to K^{n x n}
[/mm]
A [mm] \mapsto A^{T}
[/mm]
Zeigen Sie, dass +1 und -1 die einzigen Eigenwerte von [mm] \theta [/mm] sind und beschreiben Sie die Eigenvektoren zu den einzelnen Eigenwerten.
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Hallo,
ich weiß bei dieser Aufgabe überhaupt nicht, wo ich anfangen soll. Für Tipps wäre ich sehr dankbar.
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 So 18.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Nun, sei [mm] $A=(a_{ij})$ [/mm] eine [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix. Gesucht sind die nicht-trivialen (d.h. von der Nullmatrix verschiedenen) Lösungen der Gleichung [mm] $\theta(A)=\lambda(A)$. [/mm] Welche Werte kommen für [mm] $\lambda$ [/mm] in Frage? Also angenommen die obige Gleichung ist für ein [mm] $A=(a_{ij})$ [/mm] erfüllt, dann gilt für alle $i,j$ also [mm] $a_{ji}=\lambda a_{ij}$ [/mm] und mit dem selben Argument [mm] $a_{ij}=\lambda a_{ji}$, [/mm] also insgesamt [mm] $a_{ji}=\lambda^2a_{ij}$ [/mm] für alle $i,j$, d.h. entweder sind alle [mm] $a_{ij}$ [/mm] gleich 0, oder [mm] $\lambda^2=1$ [/mm] - damit ist [mm] $\lambda=\pm [/mm] 1$ gezeigt. Wie sehen nun die zugehörigen Lösungen aus?
Gruß, Robert
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