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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Fr 21.11.2008 | | Autor: | josef_ |
| Aufgabe | f : A [mm] \to [/mm] B sei eine Abbildung, U, U' seien Teilmengen von A und V, V' seien Teilmengen von B. Dann gilt unter anderem:
U [mm] \subset [/mm] U' [mm] \Rightarrow [/mm] f(U) [mm] \subset [/mm] f(U')
V [mm] \subset [/mm] V' [mm] \Rightarrow \overset{-1}{f}(V) \subset \overset{-1}{f}(V')
[/mm]
f(U [mm] \cap [/mm] U') [mm] \subset [/mm] f(U) [mm] \cap [/mm] f(U')
f(U [mm] \setminus [/mm] U') [mm] \supset [/mm] f(U) [mm] \setminus [/mm] f(U')
Zeigen Sie je ein Beispiel, dass die Umkehrungen der Implikationen
nicht zu gelten brauchen und dass die Inklusionen nicht generell durch die Gleichheit ersetzt werden können.
EDIT: Das hier:
U [mm] \subset [/mm] U' [mm] \Rightarrow [/mm] f(U) [mm] \subset [/mm] f(U')
V [mm] \subset [/mm] V' [mm] \Rightarrow \overset{-1}{f}(V) \subset \overset{-1}{f}(V')
[/mm]
f(U [mm] \cap [/mm] U') [mm] \subset [/mm] f(U) [mm] \cap [/mm] f(U')
f(U [mm] \setminus [/mm] U') [mm] \supset [/mm] f(U) [mm] \setminus [/mm] f(U')
gilt und ist schon bewiesen. Es geht hier also nicht darum, die Gültigkeit der obigen Aussagen zu zeigen.
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Hallo. Ich denke, das mir die Vorgehensweise klar ist:
Für die Umkehrungen der Implikationen muss ich zeigen, das U nicht Teilmenge von U' und V nicht Teilmenge von V' ist.
Für die Inklusionen muss ich zeigen, das f(U) [mm] \cap [/mm] f(U') keine Teilmenge von f(U [mm] \cap [/mm] U') und das f(U [mm] \setminus [/mm] U') keine Teilmenge von f(U) [mm] \setminus [/mm] f(U') ist.
Die Beispiele zu zeigen, daran hapert es leider.
Gruß,
Josef
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> f : A [mm]\to[/mm] B sei eine Abbildung, U, U' seien Teilmengen von
> A und V, V' seien Teilmengen von B. Dann gilt unter
> anderem:
>
> U [mm]\subset[/mm] U' [mm]\Rightarrow[/mm] f(U) [mm]\subset[/mm] f(U')
> V [mm]\subset[/mm] V' [mm]\Rightarrow \overset{-1}{f}(V) \subset \overset{-1}{f}(V')[/mm]
>
> f(U [mm]\cap[/mm] U') [mm]\subset[/mm] f(U) [mm]\cap[/mm] f(U')
> f(U [mm]\setminus[/mm] U') [mm]\supset[/mm] f(U) [mm]\setminus[/mm] f(U')
>
> Zeigen Sie je ein Beispiel, dass die Umkehrungen der
> Implikationen
> nicht zu gelten brauchen und dass die Inklusionen nicht
> generell durch die Gleichheit ersetzt werden können.
> Hallo. Ich denke, das mir die Vorgehensweise klar ist:
Das glaube ich nicht !
> Für die Implikationen muss ich zeigen, das U [mm]\not\in[/mm] U'
> und V [mm]\not\in[/mm] V' ist.
Wie bitte ?
Du sollst zeigen: wenn U $ [mm] \subset [/mm] $ U' $dann $ f(U) $ [mm] \subset [/mm] $ f(U')
> Bei den Inklusionen muss ich zeigen, das f(U [mm]\cap[/mm] U')
> nicht Teilmenge von f(U) [mm]\cap[/mm] f(U') und das f(U) [mm]\setminus[/mm]
> f(U') keine Teilmenge von f(U [mm]\setminus[/mm] U') ist.
Nochmal : wie bitte ? Überlege noch mal.
FRED
>
> Die Beispiele zu zeigen, daran hapert es leider.
>
> Gruß,
> Josef
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Sa 22.11.2008 | | Autor: | josef_ |
> Das glaube ich nicht !
Ich schon. Meine Beschreibung der Vorgehensweise war allerdings fehlerhaft. Ich hoffe, das die Korrektur keine weiteren Fehler enthält.
> Wie bitte ?
> Du sollst zeigen: wenn U [mm]\subset[/mm] U' [mm]dann[/mm] f(U) [mm]\subset[/mm]
> f(U')
Nein.
Vielleicht magst du ja noch einmal einen Blick auf die korrigierte Version werfen und prüfen, ob das so richtig formuliert ist?
Fände ich super!
Gruß,
Josef
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> f : A [mm]\to[/mm] B sei eine Abbildung, U, U' seien Teilmengen von
> A und V, V' seien Teilmengen von B. Dann gilt unter
> anderem:
>
> U [mm]\subset[/mm] U' [mm]\Rightarrow[/mm] f(U) [mm]\subset[/mm] f(U')
> V [mm]\subset[/mm] V' [mm]\Rightarrow \overset{-1}{f}(V) \subset \overset{-1}{f}(V')[/mm]
>
> f(U [mm]\cap[/mm] U') [mm]\subset[/mm] f(U) [mm]\cap[/mm] f(U')
> f(U [mm]\setminus[/mm] U') [mm]\supset[/mm] f(U) [mm]\setminus[/mm] f(U')
Fred hat die Aufgabe bzw. Aufgabenstellung schon verstanden. Er dachte nur, es wäre mehr in der Aufgabe verlangt, weil Du nicht dazugeschrieben hast, was schon bewiesen worden ist.
> Zeigen Sie je ein Beispiel, dass die Umkehrungen der
> Implikationen
> nicht zu gelten brauchen und dass die Inklusionen nicht
> generell durch die Gleichheit ersetzt werden können.
> Hallo. Ich denke, das mir die Vorgehensweise klar ist:
> Für die Implikationen muss ich zeigen, das U [mm]\not\in[/mm] U'
> und V [mm]\not\in[/mm] V' ist.
Das ist Unsinn, was Du da schreibst (es kann höchstens sein, dass Du etwas anderes meinst, als Du schreibst, aber wir können keine Gedanken lesen ^^). Nach dem zu urteilen, was Du schreibst, könnte ich Dir nun unterstellen, dass Du anscheinend die Aufgabenstellung nicht verstanden hast. Also sei vorsichtig mit solchen Unterstellungen!
Du sollst unter anderem zeigen, dass i.a. aus $f(U) [mm] \subset [/mm] f(U')$ eben nicht $U [mm] \subset [/mm] U'$ folgt. Das sollst Du anhand eines Beispiels machen.
Betrachte $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$). [/mm] Hier gilt $f([0,1]) [mm] \subset f([-2,0])\,,$ [/mm] aber es gilt sicher nicht $[0,1] [mm] \subset [-2,0]\,.$ [/mm]
Analog auch bei der zweiten Aufgabe mit dem Folgepfeil.
> Bei den Inklusionen muss ich zeigen, das f(U [mm]\cap[/mm] U')
> nicht Teilmenge von f(U) [mm]\cap[/mm] f(U') und das f(U) [mm]\setminus[/mm]
> f(U') keine Teilmenge von f(U [mm]\setminus[/mm] U') ist.
Auch das ist Unsinn. Das, was Du schreibst, würde bedeuten, dass das, was ihr schon bewiesen habt, nun mit Gegenbeispielen widerlegt werden soll. Ersetze das rotmarkierte Wort durch Obermenge.
Bewiesen wurde doch schon, dass
> f(U $ [mm] \cap [/mm] $ U') $ [mm] \subset [/mm] $ f(U) $ [mm] \cap [/mm] $ f(U')
gilt. Du sollst nun halt anhand eines Beispieles zeigen, dass
> f(U $ [mm] \cap [/mm] $ U') $ [mm] \red{\supset} [/mm] $ f(U) $ [mm] \cap [/mm] $ f(U')
i.a. falsch ist.
Analog auch bei der noch verbleibenden Aufgabe.
Generell: Bei einigen der obigen Aussagen (vll. auch bei allen, da bin ich zu faul, drüber nachzudenken) lassen sich die Zeichen auch umkehren, wenn [mm] $\,f\,$ [/mm] zudem injektiv ist. Suche also generell nach nicht injektiven Funktionen, vll. bekommst Du damit die ganze Aufgabe nun gelöst (sofern es nun keine weiteren Verständnisprobleme mehr gibt; ansonsten frage bitte nochmal nach).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Sa 22.11.2008 | | Autor: | josef_ |
> Das ist Unsinn, was Du da schreibst (es kann höchstens
> sein, dass Du etwas anderes meinst, als Du schreibst, aber
> wir können keine Gedanken lesen ^^). Nach dem zu urteilen,
Ich hatte bei der Formulierung einige Patzer drin. Ich hoffe, das keine mehr enthalten sind.
> Betrachte [mm]f: \IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x):=x^2[/mm] ([mm]x \in \IR[/mm]). Hier
> gilt [mm]f([0,1]) \subset f([-2,0])\,,[/mm] aber es gilt sicher
> nicht [mm][0,1] \subset [-2,0]\,.[/mm]
>
> Analog auch bei der zweiten Aufgabe mit dem Folgepfeil.
Mit dem Tipp bin ich nun einen Schritt weiter gekommen.
Gruß,
Josef
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