Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:26 So 05.12.2004 | | Autor: | Nadja |
Hallo
Kann mir jemand helfen bei dieser Aufgabe
Es sei a=(aij) [mm] \in [/mm] M(n;K).
Dann wird die Spur von a definiert durch
Spur(a) = a11+a22+....+ann.
i) Zeigen Sie:
(a) Spur(a) + Spur(b) = Spur (a+b) und Spur(ab) = Spur(ba).
(b) Es gibt keine Matrizen a,b [mm] \in [/mm] M(n;C) mit ab-ba= [mm] \I_{n}.
[/mm]
ii) Es sei [mm] \cal{P} [/mm] der Vektorraum der Polynome über C sowie
D: [mm] \cal{P} [/mm] --> [mm] \cal{P} [/mm] die Ableitung
[mm] A(co+c1x+...+cnx^n)=c0x+c1x^2+...+cnx^n1.
[/mm]
Zeigen Sie: DA - AD = I.
Ich weiß überhaupt nicht wie ich das zeigen soll. Kann mir jemand ein ansatz geben.
Danke euch
Nadja
Ich habe diese Aufgabe in keinen anderem Forum gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Nadja!
Also nur so ganz spontan zum 1. Teil:
> Es sei a=(aij) [mm]\in[/mm] M(n;K).
> Dann wird die Spur von a definiert durch
> Spur(a) = a11+a22+....+ann.
>
> i) Zeigen Sie:
> (a) Spur(a) + Spur(b) = Spur (a+b) und Spur(ab) =
> Spur(ba).
Nimm doch einfach zwei Matrizen, "berechne" die Spur (also schreib quasi nur die Definition hin) und addierst sie, dann addierst du die Matrizen und "berechnest" davon die Spur, da kommt dann halt genau das Gleiche raus. Ich glaub', das brauch man wirklich nur hinschreiben.
> (b) Es gibt keine Matrizen a,b [mm]\in[/mm] M(n;C) mit ab-ba=
> [mm]\I_{n}.
[/mm]
Und hier weiß ich nicht so ganz, was du meinst...
Jedenfalls kann dir zu den anderen Sachen sicher jemand anders weiterhelfen. 
Viele Grüße
Bastiane
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Sandra21 |
Wer kann bei den zweiten Teil dieser Aufgabe mir helfen.
Es heißt ab-ba=I(n) I soll Einheitsmatrix sein
Danke
Sandra
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sandra,
> Es heißt ab-ba=I(n) I soll Einheitsmatrix sein
Vergleiche doch mal die Spuren von AB, BA und I (siehe Aufgabenteil (a)).
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
Hallo
Kann mir jemand einen Ansatz für ii) geben, irgendwie komm ich nicht drauf?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Fr 10.12.2004 | | Autor: | wluut |
Zuerst war mir auch nicht sofort klar, wie die 2. Aufgabe gemeint ist, du schreibst, dass zu zeigen ist: DA - AD = I.
Mit DA ist wohl NICHT D*A ("D multipliziert mit A") gemeint, denn sonst wäre ja D*A = A*D und damit D*A - A*D = 0 [mm]\not=[/mm] I.
Ich habe die Aufgabe jetzt so verstanden (dann macht es auch Sinn und ich bekomme auch ein Ergebnis):
DA bedeutet: Wende zuerst die Abbildung A auf das Eingabepolynom [mm]p\in\cal{P}[/mm] an, danach leite das Ergebnis ab.
I ist die Identitätsfunktion I(p) = p.
Zu zeigen ist dann also:
D(A(p))-A(D(p))=I(p)=p
Der Rest ist Ausrechnen:
Das macht man entweder mit der "Pünktchen-Schreibweise" oder in der kürzeren Summen-Form:
p kann man ja schreiben als: [mm]c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots+c_nx^n= \summe_{i=0}^{n}c_ix^{i}[/mm]
Genauso gilt:
[mm]D(p)=c_1+2c_2x+\ldots+nc_nx^{n-1}= \summe_{i=0}^{n}ic_ix^{i-1}[/mm]
und
[mm]A(p)=c_0x+c_1x^2+\ldots+c_nx^{n+1}= \summe_{i=0}^{n}c_ix^{i+1}[/mm]
Jetzt bleibt nur noch D(A(p)) und A(D(p)) auszurechnen, dann wird man sehen, dass D(A(p))-A(D(p)) = [mm]\summe_{i=0}^{n}c_ix^{i}[/mm] = I(p) = p.
Falls du damit nicht weiter kommst, melde Dich gerne nochmal, die Rechnung habe ich nämlich auch schon gemacht.
Jens
|
|
|
|
