Abb. vernknüpfen/Permutation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgenden durch ihre Wertetabelle gegebenen Abbildungen:
[mm] $\alpha [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 }$
[/mm]
[mm] $\beta [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 }$
[/mm]
a) Lassen sich diese Abbildungen verknüpfen? Handelt es sich um eine Permutation?
b) Berechnen sie außerdem $a [mm] \circ [/mm] a$ |
Guten Tag.
Ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht.
Verknüpfungen berechnen sich doch durch [mm] *(\alpha, [/mm] beta)
Und daraus lässt sich wiederum eine Multiplikation machen:
[mm] $\alpha [/mm] * [mm] \beta [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 }* \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 }$
[/mm]
Und wie multipliziert man das jetzt?
Komme ich dann auf das Ergebnis [mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 6 & 3 & 2 }$? [/mm] Und woran erkenne ich nun, dass sie sich verknüpfen lassen? Oder ob es sich um eine Permutation handelt?
Wie mache ich das bei Aufgabe b? Ich kenne das nur mit Funktionen. Ich kann zwar f [mm] \circ [/mm] g mit f(x)=x und [mm] g(x)=x^2 [/mm] berechnen. Aber nicht mit so einer komischen Abbildung.
Gruß
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Mo 13.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Phoney
1. Verknüpfen heisst einfach hintereinander ausführen, und hat nur selten was mit Multiplikation zu tun :
Also zuerst siehst du, dass die meng, auf der sie Abbildung gegeben ist offensichtlich (1,2,3) ist. [mm] \Die [/mm] bildmenge ist dieselbe!
[mm] \alpha [/mm] bildet 1 auf 2, 2 auf 3, 3 auf 1 ab. offensichtlich ne zyklisch Permutation.
[mm] \beta [/mm] kannst du jetz selbst übersetzen und dann erst [mm] \alpha, [/mm] dann [mm] \beta [/mm] und umgekehrt ausführen.
erst [mm] \alpha, [/mm] dann [mm] \beta [/mm] bildet 1 auf 1 ab usw!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Abend.
> [mm]\alpha[/mm] bildet 1 auf 2, 2 auf 3, 3 auf 1 ab.
> offensichtlich ne zyklisch Permutation.
Ja, [mm] \beta [/mm] bildet:
1 auf 3,
2 auf 1,
3 auf 2.
> und dann erst $ [mm] \alpha, [/mm] $ dann $ [mm] \beta [/mm] $ und umgekehrt ausführen.
Was heißt das denn mit dem Umgekehrt?
Also [mm] \alpha [/mm] umgekehrt wäre ja nun
2 auf 1
3 auf 2
1 auf 3
Und dann sehe ich, dass das nicht das selbe wie b ist und deswegen lassen die sich nicht verknüpfen?
Ich drehe aber auch gerne noch einmal [mm] \beta [/mm] um
3 auf 1,
1 auf 2,
2 auf 3.
Ich drehe mich im Kreis...
Achso, ich soll a und b miteinander schreiben. Ich nehme die Zahlen [mm] (\alpha) [/mm] 2,3,1 und verknüpfe die mit den Zahlen 3,1,2 von [mm] \beta. [/mm]
Dann habe ich eine Abbildung
2 auf 3
3 auf 1
1 auf 2.
oder anders geschrieben
1 auf 2
2 auf 3
3 auf 1.
Und deswegen lassen sich A und B verknüpfen, weil diese "Abbildung" eben A ist (wie am Anfang genannt).
War das so gemeint?
Gruß
Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mo 13.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit umgekehr meinte ich erst a dann b und umgekehrt ist erst b dann a.
a bildet 1 auf 2 ab ; 2 auf 3; 3 auf 1
jetzt b anwenden 2nach 1 ; 3 nach 2 und 1 nach 3
d.h. b [mm] \circ [/mm] a 1nach 1; 2 nach 2 3 nach 3 also [mm] a\circ [/mm] b=id
jetzt sollte man noch untersuchen, ob das Kommutativ ist also [mm] a\circ [/mm] b erst b, dann a.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Di 14.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Einen wunderschönen guten Abend!
Danke für die Erklärungen.
> mit umgekehr meinte ich erst a dann b und umgekehrt ist
> erst b dann a.
> a bildet 1 auf 2 ab ; 2 auf 3; 3 auf 1
> jetzt b anwenden 2nach 1 ; 3 nach 2 und 1 nach 3
> d.h. b [mm]\circ[/mm] a 1nach 1; 2 nach 2 3 nach 3 also [mm]a\circ[/mm]
> b=id
Ist das hier ein geheimer Tipp, dass sie kommutativ sind? Denn ansonsten müsste es [mm] $b\circ [/mm] a = id$ heißen, oder?
> jetzt sollte man noch untersuchen, ob das Kommutativ ist
> also [mm]a\circ[/mm] b erst b, dann a.
Ja, das ist kommutativ?
Wenn wir jetzt noch ein c hinzunehmen mit [mm] c=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3 }
[/mm]
Dann lässt sich a ja nicht mit c verknüpfen, nur wie schreibt man das auf?
In welchem Fall würde denn eine Permutation vorliegen? Wenn sich die beiden Abbildungen nicht verknüpfen lassen?
Gruß
Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Di 14.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jahann
das sollte kein tip sein, sondern ich hab einfach zu schnell geschrieben, da weiss man dann nicht mehr, was a und b grade ist.
a,b sind permutationen du kannst ja noch [mm] a\circ [/mm] a usw berechnen, und [mm] b\circ [/mm] b . das sind die zyklischen Perm.
woher kommt c plötzlich?
Aber die Abbildung c ist ja nicht mehr surjektiv, sondern nur noch inj.
c bildet auf ne Teilmenge von (1,2,3) ab. diese Teilmenge kann a natürlich wieder Abbilden auf eine Teilmenge.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Di 14.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Nabend.
> woher kommt c plötzlich?
Das ist einfach ein weiteres Beispiel, damit ich das Thema vertiefen kann.
> Aber die Abbildung c ist ja nicht mehr surjektiv, sondern
> nur noch inj.
>
> c bildet auf ne Teilmenge von (1,2,3) ab. diese Teilmenge
> kann a natürlich wieder Abbilden auf eine Teilmenge.
Wieso das?
Für c [mm] \circ [/mm] a erhalte ich aber
1 auf 2
2 auf 3
3 auf 3
und für [mm] a\circ [/mm] c
1 auf 1
2 auf 3
3 auf 1
Das ist ja jetzt nicht dasselbe. Wofür prüfe ich denn dann die kommutativität, wenn mir diese nicht sagen, dass ich A mit C verknüpfen kann...
Also wann kann ich denn Abbildungen nicht miteinander verknüpfen?
Das verstehe ich leider immernoch nicht.
mfg
Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Di 14.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo phoney
Abbildungen müssen nicht kommutativ sein und sind das i.A. auch nicht. Wenn [mm] a\circ [/mm] b=id, dann sind sie es allerdings.
Damit man Abb. verknüpfen kann müssen sie nicht injektiv und nicht surjektiv sein und für die Abb.muss nicht gelten [mm] a\circ b=b\cira.
[/mm]
deine ersten 2 Abbildungen waren injektiv, und damit, weil auf endlichen Mengen auch surjektiv, c ist das nicht!
Ich weiss jetzt nicht mehr, was die eigentliche Aufgabe war, und was du noch wissen willst.
Wenn da also noch Fragen sind, formulier sie anders als"ich versteh nix mehr" darauf ist schwer zu antworten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> Wenn da also noch Fragen sind, formulier sie anders
> als"ich versteh nix mehr" darauf ist schwer zu antworten.
Das sehe ich ein.
Aber für mich ist es noch nicht ganz schlüssig, wann sich die Abbildungen nicht verknüpfen lassen?
Also wenn ich jetzt ein d habe mit
$d= [mm] \pmat{1 & 2 & 3\\ 6 & 3 & 2} [/mm] $
(Die Werte der unteren Reihe sind mir egal, nur mal rein fiktiv, die können auch geändert werden).
und $a = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 }$ [/mm]
Kann ich die miteinander verknüpfen? Also wegen der 6 in d würde ich ja sagen, dass das nicht geht, aber ich habe ja hier auch mal im Forum gesucht, https://matheraum.de/read?i=159588, da steht, dass bei $12 ° 13 $ dass man das auch verknüpfen kann und die 3 dann einfach stehen lässt, denn in einem zykel weggelassene zahlen werden fest gelassen
Also welche Abbildungen lassen sich nicht erfüllen, oder wie muss mein d aussehen, damit ich es nicht mit a verknüpfen kann.
Das ist mir noch nicht ganz ersichtlich geworden. Es sei denn, es ist wegen der 6 im d.
Dann wäre es mir klar.
Schöne Grüße
Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mi 15.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Johann
Abbildungen bilden Mengen aufeinander ab, im Allgemeinen sagt man f ist ne Abbildung von M1 nach M2 wenn Elementen [mm] x\inM1 [/mm] Elemente [mm] y\in [/mm] M2 zugeordnet werden.
wenn eine Abbildung a von M1 nach M2 geht, kannst du sie mit einer Abbildung b von M2 nach M3 verknüpfen [mm] b\circ [/mm] a ist ne Abbildung von M1 nach M3. [mm] a\circ [/mm] b geht nicht, es sei denn M3=M1 oder M3 [mm] \subset [/mm] M1, d.h. wenn der "Wertevorrat" einer Abbildung im Definitionsbereich der anderen liegt.
In deinem Fall kannst du also [mm] d\circ [/mm] a bilden, das umgekehrte ist sinnlos.
Bei der zitierten Abb. ist das anders, es ist ne Abb von M nach M wie deine a,b,c auch, man lässt nur beim Aufschreiben (nach Vereinbarung) die Elemente weg, die auf sich selbst abgeb. werden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Abend.
$ [mm] c=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3 } [/mm] $
> woher kommt c plötzlich?
> Aber die Abbildung c ist ja nicht mehr surjektiv, sondern
> nur noch inj.
Warwum ist das inj.? Ich dachte, es ist nicht inj. aber surjektiv, weil ich jeden Wert der oberen Zeile einem dadrunter zuordnen kann.
Halt genauso: Jeder Y-Werte bekommt einen X-wert zugeordnet.
Liebe Grüße
Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Mi 15.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Tut mir leid
Es ist weder inkektiv, noch surjektiv. Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Mojn.
> Tut mir leid
> Es ist weder inkektiv, noch surjektiv.
Dann haben wir uns ja beide geirrt 
Und warum ist diese Abbildung nichts von beidem? Also warum ich dachte, sie wäre surjektiv, steht ja in der vorherigen Frage... Kannst du mir das Weder Noch noch einmal erklären?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mi 15.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Injektiv: [mm] x1\ne [/mm] x2 => f(x1) [mm] \ne [/mm] f(x2)
surjektiv: zu JEDEM y aus M2 gibt es ein x in M1 mit f(x)=y
Wenn Bild und Urbildmenge endlich sind dann ist immer beides gleichzeitig, beides nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Do 16.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo leduart.
Das ist ein sehr schwieriges Theme für mich, also vielen Dank für deine viele Geduld. Nun ist alles soweit geklärt. Danke dafür!
Gruß
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