Abb. inj./surj. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Mi 28.10.2009 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | Es seien $ f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y und [mm] \; [/mm] g: Y [mm] \rightarrow [/mm] Z$ Abbildungen. Zeigen Sie:
(a) Ist g°f injektiv, so ist f injektiv.
(b) Ist g°f injektiv und f surjektiv, so ist g injektiv.
(c) Ist g°f surjektiv, so ist g surjektiv.
(d) Ist g°f surjektiv und g injektiv, so ist f surjektiv. |
Wie beweist man so etwas?
Stimmen die folgenden Beweise?
(a) Sei h=g°f injektiv, $ [mm] f(x_1)=f(x_2)$
[/mm]
zu zeigen:$ [mm] x_1=x_2$
[/mm]
Aus $ [mm] f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] folgt:
[mm] $g(f(x_1))=g(f(x_2)), [/mm] also [mm] \; [/mm] ist [mm] \; h(x_1)=h(x_2)$,
[/mm]
da h injektiv ist gilt:
$ [mm] x_1=x_2$
[/mm]
(b)Annahmen:
1)g°f injektiv, daraus [mm] folgt:$g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Rightarrow x_1=x_2$
[/mm]
2)g injektiv: [mm] $g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Rightarrow f(x_1)=f(x_2) \gdw f(x_1) \ne f(x_2) \Rightarrow g(f(x_1)) \ne g(f(x_2))$
[/mm]
Beweis durch Widerspruch:
[mm] $f(x_1) \ne f(x_2) \Rightarrow g(f(x_1))=g(f(x_2)) [/mm] $ nach 1) $ [mm] \Rightarrow x_1=x_2$ [/mm] Widerspruch!, da f injektiv ist mit $ [mm] f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$
[/mm]
Und wie geht das bei c) und d)?
Vielen dank schonmal im Vorraus und lg
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> Es seien [mm]f:X \rightarrow Y und \; g: Y \rightarrow Z[/mm]
> Abbildungen. Zeigen Sie:
>
> (a) Ist g°f injektiv, so ist f injektiv.
> (b) Ist g°f injektiv und f surjektiv, so ist g injektiv.
> (c) Ist g°f surjektiv, so ist g surjektiv.
> (d) Ist g°f surjektiv und g injektiv, so ist f
> surjektiv.
> Wie beweist man so etwas?
>
> Stimmen die folgenden Beweise?
>
> (a) Sei h=g°f injektiv, [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm]
> zu zeigen:[mm] x_1=x_2[/mm]
> Aus [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm] folgt:
> [mm]g(f(x_1))=g(f(x_2)), also \; ist \; h(x_1)=h(x_2)[/mm],
>
> da h injektiv ist gilt:
> [mm]x_1=x_2[/mm]
Hallo,
das ist richtig so.
>
> (b)Annahmen:
> 1)g°f injektiv, daraus folgt:[mm]g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Rightarrow x_1=x_2[/mm]
>
> 2)g injektiv: [mm]g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Rightarrow f(x_1)=f(x_2) \gdw f(x_1) \ne f(x_2) \Rightarrow g(f(x_1)) \ne g(f(x_2))[/mm]
Hier hast Du Dich verzettelt: es ist doch vorausgesetzt, daß f surjektiv ist, und zeigen sollst Du dann, daß g injektiv ist.
>
> Beweis durch Widerspruch:
> [mm]f(x_1) \ne f(x_2) \Rightarrow g(f(x_1))=g(f(x_2))[/mm]
> nach 1) [mm]\Rightarrow x_1=x_2[/mm] Widerspruch!, da f injektiv
> ist mit [mm]f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2[/mm]
>
> Und wie geht das bei c) und d)?
Vom Stil her ähnlich. permanente Arbeit mit den Definitionen.
Ich möchte die nicht gern vorrechnen.
Wie weit bist Du denn gekommen? Wo gibt's Probleme?
Voraussetzungen? Was muß gezeigt werden?
Gruß v. Angela
> Vielen dank schonmal im Vorraus und lg
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