Abb. auf Gruppe bijektiv? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mo 14.01.2008 | | Autor: | then3210 |
| Aufgabe | Es sei [mm] (G,\circ [/mm] )eine Gruppe und a [mm] \in [/mm] G. Betrachten Sie die folgenden Abb. f: [mm] G\to [/mm] G und g: [mm] G\to [/mm] G, definiert durch die Vorschriften f(x):= [mm] x\circ [/mm] a ung g(x):= x^-1.
(a)Zeigen Sie, dass f und g Bijektionen sind.
(b)Unter welchen Bedingungen sind f und g Homomorphismen? |
(a) Bei g denke ich an das mult. Inverse welches doch eindeutig ist also ist g bijektiv aber bei f weiß ich net weiter.
(b) ??? Vielleicht wenn ich a verstanden habe.
PS Nur so am Rande....war heute kurz das Thema....was sind Signaturen von Strukturen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 Di 15.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
bezeichne für $a [mm] \in [/mm] G$ die abbildung [mm] $f_a(x) [/mm] = x [mm] \circ [/mm] a$ (damit wird ausgedrückt, dass du verschiedene $a$'s auch verschiedene abbildungen $f$ erhälst). berechne dann mal [mm] $f_a \circ f_{a^{-1}}$ [/mm] und [mm] $f_{a^{-1}} \circ f_a$. [/mm] lässt sich damit vielleicht etwas über die umkehrabbildung von [mm] $f_a$ [/mm] aussagen und folgt daraus, dass [mm] $f_a$ [/mm] bijektiv ist?
wenn dir dieses kriterium nicht geläufig ist, kann man die bijektivität direkt zeigen: sei [mm] $f_a(x) [/mm] = [mm] f_a(x')$, [/mm] also $x [mm] \circ [/mm] a = x' [mm] \circ [/mm] a$. was erhält man aus dieser gleichung wenn man von rechts mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] multipliziert (ist das eine äquivalenzumformung?)?
für jedes $y [mm] \in [/mm] G$ lässt sich direkt ein urbild angeben, das heißt ein $x [mm] \in [/mm] G$ mit [mm] $f_a(x) [/mm] = y$, womit die surjektivität gezeigt ist. probiere einfach mal mit ein paar naheliegenden möglichkeiten herum.
zur bijektivität voni $g$ berechne einfach mal $g [mm] \circ [/mm] g$. was ergibt sich? das die eindeutigkeit des multiplikativ inversen da rein spielt ist schon richtig.
grüße
andreas
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