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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 So 04.11.2018 | | Autor: | darko90 |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei Mengen A und B, sowie eine Abbildung f : A [mm] \to [/mm] B.
Zeigen Sie:
(i) Sind M und N zwei Teilmengen von A, so gilt f(M [mm] \cup [/mm] N) = f(M) [mm] \cup [/mm] f(N), f(M [mm] \cap [/mm] N) [mm] \subseteq [/mm] f(M) [mm] \cap [/mm] f(N) und M [mm] \subseteq [/mm] f^-1(f(M)). Zeigen Sie anhand von Beispielen, dass in den letzten beiden Fällen die Inklusionen echt sein können, aber nicht müssen.
(ii) Sind M und N zwei Teilmengen von B, so gilt stets f^-1(M [mm] \cup [/mm] N) = f^-1(M) [mm] \cup [/mm] f^-1(N),
f^-1(M [mm] \cap [/mm] N) = f^-1(M) [mm] \cap [/mm] f^-1(N) und f(f^-1(M)) [mm] \subseteq [/mm] M. Wann gilt im letzten Fall Gleichheit? |
Guten Tag liebe Community,
ich habe seit heute folgendes Problem bei der Lösung dieser zwei Aufgaben. Ich habe im Vorlesungsskript und im Internet versucht, Ideen und Ansätze zu finden, aber leider helfen mir die Informationen eher weniger. Daher würde es mich sehr freuen, wenn jemand mir helfen könnte. PS: Dies ist mein erster Beitrag im Forum!
Mit freundlichen Grüßen
darko90
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben seien zwei Mengen A und B, sowie eine Abbildung f :
> A [mm]\to[/mm] B.
> Zeigen Sie:
> (i) Sind M und N zwei Teilmengen von A, so gilt f(M [mm]\cup[/mm] N) = f(M) [mm]\cup[/mm] f(N),
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn Du die Gleichheit zweier Mengen zeigen möchtest, mußt Du zeigen, daß jede Teilmenge der anderen ist.
Hier ist also zu zeigen:
1. [mm] f(M\cup N)\subseteq f(M)\cup [/mm] f(N)
2. [mm] f(M)\cup f(N)\subseteq f(M\cup [/mm] N)
Nun mußt Du mal im Skript schauen, wie "Teilmenge" erklärt ist: jedes Element der einen Menge liegt auch in der anderen.
Um 1. zu zeigen, mußt Du also zeigen, daß jedes Element aus [mm] f(M\cup [/mm] N) auch in [mm] f(M)\cup [/mm] f(N) ist.
Los geht es:
Sei [mm] y\in f(M\cup [/mm] N).
(Unser Ziel ist zu zeigen, daß y auch in [mm] f(M)\cup [/mm] f(N) ist)
Dann gibt es ein Element [mm] x\in M\cup [/mm] N so, daß y=f(x). (Def. des Bildes)
Also gibt es ein Element [mm] x\in [/mm] M oder [mm] x\in [/mm] M mit f(x)=y. (Def. der Vereinigung)
Also gibt es ein [mm] x\in [/mm] M mit f(x)=y oder ein [mm] x\in [/mm] N mit f(x)=y (Logik)
==> [mm] y\in [/mm] f(M) oder [mm] y\in [/mm] f(N) (Def. des Bildes)
==> [mm] y\in f(M)\cup [/mm] f(N) (def. der Vereinigung)
Damit ist gezeigt
[mm] f(M\cup N)\subseteq f(M)\cup [/mm] f(N).
Vllt versuchst Du die Rückrichtung mal entsprechend.
Um die anderen Teilaufgaben zu bewältigen, könntest Du ja schonmal notieren, was zu zeigen ist - und vllt erste Versuche machen.
LG Angela
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