A und B Teilmenge von R hoch n < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Mi 27.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Seien $A,B [mm] \subset \IR^{n}$ [/mm] kompakt. Man zeige, dass auch
[mm] $A+B=\{a+b\in \IR^{n} | a \in A,b \in B \} \subset \IR^{n}$ [/mm] kompakt ist und man zeichne A+B für den Fall das A eine endliche Strecke und B ein Dreieck in [mm] $\IR^{2}$ [/mm] ist. |
Hallo,
(0) Behauptung : $A,B [mm] \subset \IR^{n}$ [/mm] kompakt. Man zeige, dass auch
[mm] $A+B=\{a+b\in \IR^{n} | a \in A,b \in B \} \subset \IR^{n}$
[/mm]
Zuerst ist zu zeigen:
Sind$ A [mm] \subset \IR^{m}$, [/mm] $B [mm] \subset \IR^{n}$ [/mm] kompakt, dann ist es auch $A [mm] \times [/mm] B [mm] \subset \IR^{m+n}$
[/mm]
Es sind [mm] $||.||_{m}, ||.||_{n}, ||-||_{m+n}$ [/mm] die euklidischen Normen in [mm] $\IR^{m}, \IR^{n}, \IR^{m+n} \cong \IR^{m}\times \IR^{n}$. [/mm] Die dazugehörigen offenen Bälle mit Radius r sind [mm] $U^{m}_{r}(.), U^{n}_{r}(.)$ [/mm] und [mm] $U^{m+n}_{r}(.)$ [/mm] .
Nach dem Satz von Heine-Borel ist eine Teilmenge $M [mm] \subset R^{t}$ [/mm] genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Also sind in unserem Fall A und B abgeschlossen und beschränkt und es ist noch zu zeigen, dass dasselbe auch für [mm] $A\times [/mm] B$ gilt.
(1): Abgeschlossenheit: sei [mm] $x=(x_{1},x_{2}) \in (\IR^{m}\times \IR^{n})\backslash (A\times [/mm] B). Wenn [mm] $x_{1} \notin [/mm] A$ ist, dann findet man ein $r [mm] \in \IR_{>0}$ [/mm] mit:
[mm] $U^{m}_{r}(x_{1})=\{y_{1} \in \IR^{m} | ||x_{1}-y_{1}||_{m} < r \} \subset \IR^{m} \backslash [/mm] A$
und dann ist auch:
[mm] $U^{m+n}_{r}(x) \{ y=(y_{1},y_{2}) \in \IR^{m} \times \IR^{n} | ||x-y||_{m+n}< r \} \subset (\IR^{m} \times \IR^{n})\backslash (A\times [/mm] B)$
denn es gilt: ist [mm] $y=(y_{1},y_{2}) \in U^{m+n}_{r}(x)$, [/mm] dann muss
[mm] $||x_{1}-y_{1}||_{m} \le ||x-y||_{m+n} [/mm] = [mm] \sqrt{||x_{1}-y_{1}||^{2}_{m}+||x_{2}-y_{2}||^{2}_{n}}
Was bedeutet dass [mm] $y_{1} \in U^{m}_{r}(x_{1})\subset \IR^{m} \backslash [/mm] A$ und daher $y [mm] \notin A\times [/mm] B$. Dasselbe gilt auch falls [mm] $x_{2} \notin [/mm] B$.
Damit ist gezeigt dass [mm] $(\IR^{m} \times \IR^{n}) \backslash (A\times [/mm] B)$ offen ist bzw. [mm] (A\times [/mm] B) abgeschlossen.
(2) Beschränktheit von [mm] $(A\times [/mm] B)$:
Seien [mm] $r_{1},r_{2} \in \IR_{>0}$ [/mm] Radien , so dass: [mm] $A\subset U^{m}_{r_{1}}(0)$ [/mm] und $B [mm] \subset U^{n}_{r_{2}}(0)$
[/mm]
Setzt man [mm] $r:=\sqrt{r_{1}^{2}+r^{2}_{2}}$, [/mm] dann ist [mm] $A\times [/mm] B [mm] \subset U^{m+n}_{r}(0)$, [/mm] da bei [mm] $x=(x_{1},x_{2})\in A\times [/mm] B$ gilt dass:
[mm] $||x||_{m+n}=\sqrt{||x_{1}||^{2}_{m}+||x_{2}||^{2}_{n}}<\sqrt{r^{2}_{1}+r^{2}_{2}}=r$
[/mm]
Die Additionsabbildung ist: [mm] $\IR^{n} \times \IR^{n} \rightarrow \IR^{n},(v,w)\mapsto [/mm] v+w$
Diese bildet [mm] $A\times [/mm] B$ auf $A+B$ ab und Bilder von kompakten Mengen nach stetiger Abbildung sind wieder kompakt, also ist die Behauptung (0) gezeigt.
Wie zeichne ich denn A+B mit A als Strecke und B ein Dreieck in [mm] $\IR^{2}$???
[/mm]
Stimmt das so? Was kann man noch besser macheN?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Do 28.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Was hast Du da gemacht ??? Du sollst zeigen, dass A+B kompakt ist. Die Kompaktheit von A [mm] \times [/mm] B war nicht gefragt.
Nimm eine Folge [mm] (c_n) [/mm] aus A+B her und zeige: [mm] (c_n) [/mm] enthält eine konvergente Teilfolge, deren Limes zu A+B gehört.
Zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt ese [mm] a_n \in [/mm] A und [mm] b_n \in [/mm] B mit: [mm] c_n=a_n+b_n
[/mm]
Jetzt nutze die Kompaktheit von A und B
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Do 28.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Was hast Du da gemacht ??? Du sollst zeigen, dass A+B kompakt ist. Die Kompaktheit von A B war nicht gefragt.
Zuerst habe ich gezeigt, dass [mm] $A\times [/mm] B$ kompakt ist, und dann folgt daraus dass auch $A+B$ kompakt sein muss, weil eine stetige Abbildung einer kompakten Menge wieder kompakt ist. ??
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Do 28.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > Was hast Du da gemacht ??? Du sollst zeigen, dass A+B
> kompakt ist. Die Kompaktheit von A B war nicht gefragt.
>
> Zuerst habe ich gezeigt, dass [mm]A\times B[/mm] kompakt ist, und
> dann folgt daraus dass auch [mm]A+B[/mm] kompakt sein muss, weil
> eine stetige Abbildung einer kompakten Menge wieder kompakt
> ist. ??
>
Pardon, in Deinem obigen Roman hab ich irgendwann aufgehört zu lesen ....
FRED
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> > FRED
> Danke
>
>
> Gruss
> kushkush
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Hallo,
> roman
Ist es richtig oder falscH?
> FRED
Danke
Gruss
kushkuhs
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 02.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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