A ist endlich wenn < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:11 Do 20.01.2005 | | Autor: | Reaper |
geg.. A ist endlich [mm] \gdw \exists [/mm] n [mm] \in \IN_{0} [/mm] : |A| = n
[mm] \Rightarrow: [/mm] Indirekt. Für A [mm] \not= \emptyset [/mm] nehme [mm] a_{1} \in [/mm] A. Da A nicht zu [mm] \{a_{1}\} [/mm] gleichmächtig sein kann( Warum? A ist doch endlich. Die Menge
[mm] \{a_{1}\} [/mm] doch auch) , ist A [mm] \not= \{a_{1}\}. [/mm] Also gibt es ein [mm] a_{2} \in A\setminus\{a_{1}\} [/mm] etc., was auf eine abzählbare Menge [mm] \{a_{1}, a_{2},....\} [/mm] in A führt (Auswahlaxiom!).
Was hat es eigentlcih mit dem Auswahlaxiom auf sich? bzw. was ist es?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Do 20.01.2005 | | Autor: | Reaper |
OK die Begrüßung und somit der freundliche Umgangston hat gefehlt. Was ich will, ganz einfach. In der obigen Definition steht ja eine Bedingung wann eine Menge endlich ist . Und dazu kapier ich den Beweis nicht. Hab auch in Klammer hinzugeschrieben was mir nicht klar ist. Tja und dazu will ich jetzt eine Erklärung haben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Do 20.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Reaper,
> OK die Begrüßung und somit der freundliche Umgangston hat
> gefehlt.
Und wo bleibt die Begrüßung? 
> Was ich will, ganz einfach. In der obigen
> Definition steht ja eine Bedingung wann eine Menge endlich
> ist . Und dazu kapier ich den Beweis nicht.
Du meinst, in der Aussage oben. Definitionen sind Definitionen, bei Definition gibt's nichts zu beweisen (außer vielleicht die Wohldefiniertheit )...
> Hab auch in
> Klammer hinzugeschrieben was mir nicht klar ist. Tja und
> dazu will ich jetzt eine Erklärung haben.
Ich sehe allerdings nur noch eine Frage (da ich dir einen Link zum Auswahlaxiom angeboten habe):
> [mm] \Rightarrow: [/mm] Indirekt. Für A [mm] \not= \emptyset [/mm] nehme [mm] a_{1} \in [/mm] A. Da A
> nicht zu [mm] \{a_{1}\} [/mm] gleichmächtig sein kann( Warum? A ist doch endlich. > Die Menge $ [mm] \{a_{1}\} [/mm] $ doch auch)
Dazu zunächst ein weiterer Link:
![[]](/images/popup.gif) http://www.fbw.hs-bremen.de/~wilkeit/MatheI/beweise.html, Satz 12.3
Nun zu deiner Frage:
Bei deinem Beweis in Richtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] geht man ja so vor (beachte Satz 12.3, es ist ein "Indirekter Beweis"!):
[mm] $(\star)$ [/mm] Angenommen, $A$ wäre endlich und es gelte für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] dass [mm]|A|\not=n[/mm].
Dann folgt doch unmittelbar, dass $A$ nicht gleichmächtig zu [m]\{a_1\}[/m] sein, denn andernfalls wäre ja [mm] $|A|=|\{a_1\}|=1$, [/mm] was nach der Annahme [mm] $(\star)$ [/mm] nicht sein kann (da $1 [mm] \in \IN$). [/mm] Somit sollte dann diese Frage auch geklärt sein, oder? Jedenfalls fällt mir nichts ein, was dir sonst noch unklar sein könnte...
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Do 20.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Ah... OK danke
Hab nicht gewusst was indirekt bedeutet.
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![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
